内容发布更新时间 : 2024/11/17 17:53:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

2.3.1《平均数及其估计》教案

教学目标:

（1）理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平；

（2）初步了解如何运用数学知识和方法进行统计研究，提高统计的准确性和科学性； （3）掌握从实际问题中提取数据，利用样本数据计算其平均值，并对总体水平作出估计的

方法。

教学重点: 掌握从实际问题中提取数据，用样本数据计算其平均值，对总体水平作出估计的方法。

教学难点: 能应用相关知识解决简单的实际问题。 教学过程: 一、问题情境

某校高一(1)班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检查重力加速度．全班同学两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据（单位：m/s2）

9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.32 9.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78

9.72

9.93 9.94

9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90 怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？ 二、学生活动

1n我们常用算术平均数?ai（其中ai(i?1,2,?，n)为n个实验数据）作为重力加速

ni?1度的“最理想”的近似值，它的依据是什么呢？

处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差最小。设这个近似值为x，那么它与n个实验值ai(i?1,2,?,n)的离差分别为x?a1，x?a2，x?a3，…，x?an．由于上述离差有正有负，故不宜直接相加．可以考虑离差的平方和，即

22， (x?a1)2?(x?a2)2???(x?an)2 =nx2?2(a1?a2??an)x?a12?a2??an所以当x?a1?a2??an时，离差的平方和最小，

n故可用

a1?a2??an作为表示这个物理量的理想近似值．

n三、建构数学

1．平均数最能代表一个样本数据的集中趋势，也就是说它与样本数据的离差最小； 2．数据a1,a2,?,an的平均数或均值，一般记为a?__a1?a2??an；

n3．若取值为x1,x2,?,xn的频率分别为p1,p2,?,pn，则其平均数为

x?x1p1?x2p2?…?xnpn．

四、数学运用

例1．某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150分），试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好一些．

甲班

112 86 106 84 100 105 98 102 94 107 87 112 94 94 99 90 120 98 95 119 108 100 96 115 111 104 95 108 111 105 104 107 119 107 93 102 98 112 112 99 92 102 93 84 94 94 100 90 84 114 乙班

116 95 109 96 106 98 108 99 110 103 94 98 105 101 115 104 112 101 113 96 108 100 110 98 107 87 108 106 103 97 107 106 111 121 97 107 114 122 101 107 107 111 114 106 104 104 95 111 111 110

分析：我们可用一组数据的平均数衡量这组数据的集中水平，因此，分别求出甲、乙两个班的平均分即可。

解：用计算器分别求出甲班的平均分为101.1,乙班的平均分为105.4,故这次考试乙班成绩要好于甲班。

例2．下面是某校学生日睡眠时间抽样频率分布表(单位:h),试估计该学生的日平均睡眠时间．

睡眠时间 [6，6.5) [6.5，7) [7，7.5) [7，5,8) 人数 5 17 33 37 频率 0．05 0．17 0．33 0．37

[8，8.5) [8.5，9) 合 计

6 2 100 0．06 0．02 1 分析：要确定这100名学生的平均睡眠时间，就必须计算其总睡眠时间，由于每组中的个体睡眠时间只是一个范围，可以用各组区间的组中值近似地表示．

解法1：总睡眠时间约为

6.25×5+6.75×17+7.25×33+7.75×37+8.25×6+8.75×2=7.39（h） 故平均睡眠时间约为7.39h．

解法2：求组中值与对应频率之积的和

6.25×0.05+6.75×0.17+7.25×0.33+7.75×0.37+8.25×0.06+8.75×0.02=7.39（h）

答：估计该校学生的日平均睡眠时间约为7.39h．

例3．某单位年收入在10 000到15 000、15 000到20 000、20 000到25 000、25 000到30 000、30 000到35 000、35 000到40 000及40 000到50 000元之间的职工所占的比分别为10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，试估计该单位职工的平均年收入． 解：估计该单位职工的平均年收入为

12 500×10%+17 500×15%+22 500×20%+27 500×25%+32 500×15%+37 500×10%+45 000×5%=26125(元)

答：估计该单位人均年收入约为26125元．

例4．假如你是一名交通部门的工作人员,你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2200万元人民币。另外25个项目的投资是20～100万元，中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？你选择这种数字特征的缺点是什么？

应该采用平均数来表示每一个项目的平均金额，因为它能反映所有项目的信息。但平均数会受到极端数据2200万元的影响，所以大多数项目投资金额都和平均数相差比较大。 五、课堂练习：

（1）第66页练习第2，3，4 ；

（2） 若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这M?N个数的平均数是

_______；

MX?NY

M?N（3）如果两组数x1,x2,?,xn和y1,y2,?,yn的样本平均数分别是x和y，那么一组数

x1?y1,x2?2,?,xn?yn的平均数是______________．

六、回顾小结：

x?y 21．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（平均数），会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；

2．平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平； 3．形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 七、课外作业：课本第69页第1、2、4、6题．