内容发布更新时间 : 2024/9/22 7:32:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

华南理工大学研究生入学考试 数学分析试卷第八题解答

01(10分)设函数f(x)??(a?bx)??(a?bx)，其中??x?在x?a的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求f'(0)?? 解：由导数的定义我们有：

f(x)?f(0)?(a?bx)??(a?bx)?limx?0x?0xx(?(a?bx)??(a))?(?(a?bx)??(a))?limx?0x

?(a?bx)??(a)?(a?bx)??(a)?limb?lim?bx?0x?0(a?bx)?a(a?bx)?a?b?'(a)?b?'(a)?2b?'(a)f'(0)?lim02(10分)设0?x?y??，试证：

ysiny?2cosy??y?xsinx?2cosx??x。

证：设f(x)?xsinx?2cosx??x(0?x??)，则

f'(x)?xcosx?sinx??(0?x??),f''(x)??xsinx(0?x??)

于是f''(x)?0，f'(x)严格单调递减，故f'(x)?f'(?)?0，因此f(x)严格单调递增，于是立即得到所要证的不等式。

03(10分)设x?0,y?0，求f(x,y)?xy(4?x?y)的极值。 解：f(x,y)?xy(4?x?y)?4xy?xy?xy，求偏导数得：

223222fx(x,y)?8xy?3x2y?2xy2?xy(8?3x?2y)?0fy(x,y)?4x2?x3?2x2y?x2(4?x?2y)?0fxx(x,y)?8y?6xy?2y2fyy(x,y)??2x2fxy(x,y)?fyx(x,y)?8x?3x2?4xy

?8?3x?2y?0?x?2注意到x?0,y?0，即得到二元一次方程组?，解得极值点为?，于

y?14?x?2y?0?? 1

是H((2,1))?fxx(2,1)fxy(2,1)fyx(2,1)fyy(2,1)xu2?6?4??4?8?32?0，故由fxx(2,1)??6?0知点（2，1）

是极大值点，极大值为4.

?04（10分）设f(x)?解：g(u)?0du?arctan(1?t)dt0x(1?cosx)，求limf(x)??

x?0?u20arctan(1?t)dt,g'(u)?2uarctan(1?u),f(x)?2?x0g(u)dux(1?cosx)，于是

limf(x)?limx?0x?0?x0g(u)dux?0x2x22xarctan(1?x2)22???lim?arctan1???x?03x3346x(1?cosx)??limx?0x0g(u)du?limg(x)g'(x)?limx?03x3x2

205（10分）计算方向。

C?xdy?ydx??其中C为椭圆?x?2y??(3x?2y)2?1，方向为逆时针

2?s?t?x???x?2y?s?222解：做变换?，则?，其中O：s?t?1，于是

?3x?2y?t?y?3s?t??4C?xdy?ydx?O??s?t3s?t3s?t?s?t1d?d??(tds?sdt) 24424O再取O的参数方程：??s?cosu(0?u?2?)，代入计算就得到：

?t?sinuC?xdy?ydx???S112?1?。 (tds?sdt)?sinudcosu?cosudsinu?(?2?)????04O44206（10分）计算

22(x?y)dxdy?x(y?z)dydz，其中S为柱面x?y?1及平面z?0,z?3所围成的空间区域?的整个边界曲面外侧。

解：由奥高公式得到：

??x(y?z)?0?(x?y)?(x?y)dxdy?x(y?z)dydz?????dxdydz?????y?z?dxdydz??S????x?y?z????设D:x?y?1，则??22??x,y,z??x,y??D,0?z?3?，于是就有：

3D?????y?z?dxdydz???dxdy?0(y?z)dz????3y??D?2?1?9?9?9dxdy?d?3rsin??rdr??????0?0?2?22?? 2

07(15分)设f(x)?sinx，判断f(x)在[0,??)上是否一致连续，并给出证明。 证：结论是f(x)在[0,??)上是一致连续。证明如下：

首先，对于任意大于1的正数K，f(x)在[0,K]上连续，所以一致连续。另一方面，当x?1时，f'(x)?dsinxcosx1??，故f(x)在[1,??)上一致连续，注意到dx22x，所以K[1,]f(x)在[0,??)上是一致连续。

[0K,]???1,??08(15分)计算积分I???Dmin{x2y,2}dxdy，其中D?[0,4]?[0,3]。

解：首先把积分区域D分割成三块，设D1?[0,2]?[0,3]， 3?22??x?4,2?y?3?，则 3x??D3??D2??(x,y)??D?22????x?4,0?y?2?，D3??(x,y)3x????D1D23I???min{x2y,2}dxdy???x2ydxdy???x2ydxdy???2dxdy????23023dx?xydy??2dx?xx2ydy??2dx?22dy2324204033x20424924xdx??22dx??2(6?2)dx2x3x3

4423?24498?x33??62?(6x?)2?2xx2303309(15分)计算积分I(y)?解：由于I(y)????0e?xsin2xydx。

??22???0e?xsin2xydx，于是I(0)?0,I'(y)??e?x(cos2xy)2xdx，因此由

02分部积分法就有：

I(y)??e?xsin2xydx??e?xd00??2??2cos2xy?2y?e??x2cos2xy??1???x2?e(cos2xy)2xdx

?2y02y?011?I'(y)2y2y故I'(y)?2yI(y)?1，这是一阶变系数线性非齐次常微分方程，利用常数变异法可以解得

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