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决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品 专题09 二次函数综合性问题

【典例分析】

【考点1】二次函数与经济利润问题

【例1】（2019·山东中考真题）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了

市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．

（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？ （2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）

【答案】（1）这种水果今年每千克的平均批发价是24元；（2）每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元. 【解析】 【分析】

(1)由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10?1?20%??12万元，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为?x?1?元，可列出方程：求得x即可.

(2)根据总利润＝(售价﹣成本)×数量列出方程，根据二次函数的单调性即可求最大值． 【详解】

120000100000??1000，xx?1(1)由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则去年的批发价为?x?1?元， 今年的批发销售总额为10?1?20%??12万元， ∴

120000100000??1000， xx?1整理得x2?19x?120?0，

解得x?24或x??5(不合题意，舍去). 故这种水果今年每千克的平均批发价是24元． (2)设每千克的平均售价为m元，依题意 由(1)知平均批发价为24元，则有

?41?m?w??m?24???180?300???60m2?4200m?66240，

?3?整理得w??60?m?35??7260， ∵a??60?0， ∴抛物线开口向下，

∴当m?35元时，w取最大值，

即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元 【点睛】

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．

2【变式1-1】（2019·浙江中考真题）某农作物的生长率P 与温度 t(℃)有如下关系：如图 1，当10≤t≤25 时

可近似用函数P? (1)求h的值．

(2)按照经验，该作物提前上市的天数m(天)与生长率P 满足函数关系： 生长率P 提前上市的天数m （天） 0.2 0 0.25 5 0.3 10 0.35 15 111t?刻画；当25≤t≤37 时可近似用函数P??(t?h)2?0.4 刻画． 505160①请运用已学的知识，求m 关于P 的函数表达式；

②请用含t的代数式表示m ；

(3)天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在(2)的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为 200元，该作物 30 天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加 600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w (元)与大棚温度t(℃)之间的关系如图 2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．

【答案】（1）h?29；（2）①m?100p?20，②m??天，增加利润的最大值为15000元. 【解析】 【分析】 （1）根据P?5(t?29)2?20；（3）当t?29时，提前上市208111t?求出t=25时P的值，代入P??(t?h)2?0.4即可； 505160t25时与当25剟137时两种（2）①由表格可知m与p的一次函数，用待定系数法求解即可；②分当10剟情况求解即可；

t25时与当25?t?37时两种情况求出增加的利润，然后比较即可. （3）分当20剟【详解】

11t?，得P=0.3， 5051(t?h)2?0.4得h?29或h?21 把（25，0.3）的坐标代入p??160（1）把t=25代入P?Qh?25，?h?29.

（2）①由表格可知m与p的一次函数，设m=kp+b，由题意得

?0.2k?b?0 ， ?0.25k?b?5?解之得

?k?100 ， ?b??20??m?100p?20；