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2019-2020年高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第2讲命
题及其关系学案
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
考点2 四种命题及其关系
考点3 充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 [必会结论] 1.两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．
p?q且q?/p p?/q且q?p p?q p?/q且q?/p 2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A?B，则p是q的充分条件； (2)若A?B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件；
(5)若A(6)若AB，则p是q的必要不充分条件；
B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＋2x－8<0”是命题．( )
(2)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( )
(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．( )
(4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．( )
(5)给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2．[课本改编]“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 答案 B
1
解析 若(2x－1)x＝0，则x＝或x＝0，即不一定是x＝0；若x＝0，则一定能推出(2x2－1)x＝0.
故“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分条件．
3．[2018·安徽模拟]设p：1
解析 ∵(1,2)(0，＋∞)，∴p是q的充分不必要条件．
4．原命题p：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac>bc”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．0 C．2 答案 C
解析 当c＝0时，ac＝bc，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac>bc，则a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．
5．“a<0，b<0”的一个必要条件为( ) A．a＋b<0
B．a－b>0
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2
2
2
2
2
xB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
B．1 D．4
C.>1 答案 A
abD.<－1
ab解析 若a<0，b<0，则一定有a＋b<0.故选A.
6．[2018·烟台诊断]若条件p：|x|≤2，条件q：x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) 答案 A
解析 p：|x|≤2等价于－2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件，所以有[－2,2](－∞，a]，即a≥2.
板块二 典例探究·考向突破 考向
四种命题及其相互关系
B．(－∞，2] D．(－∞，－2]
例 1 [2018·唐山检测]给出下列四个命题： ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“若a>b，则a>b”的逆否命题； ④“若x≤－3，则x－x－6>0”的否命题； 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①②
解析 ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“若a≤b，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a≤b，但a>b，故是假命题；④“若x>－3，则x－x－6≤0”，解不等式x－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．
触类旁通
四种命题真假判断的方法
(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；
(3)判断一个命题为假命题可举反例．
【变式训练1】 [2017·郑州模拟]给出以下四个命题： ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤－1，则x＋x＋q＝0有实根”的逆否命题； ④若ab是正整数，则a，b都是正整数． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 答案 ①③
解析 ①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，
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