内容发布更新时间 : 2024/5/5 18:26:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

坐标系与参数方程

1．坐标系与极坐标 (1)理解坐标系的作用．

(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．

(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义．

2．参数方程

(1)了解参数方程，了解参数的意义．

(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．

(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．

知识点一 极坐标系 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫作极点，自极点O引一Ox叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就极坐标系．

(2)极坐标

①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． 2．极坐标与直角坐标的互化

设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为： ρ＝x＋y，

?x＝ρcos θ，????? y?y＝ρsin θ；???tan θ＝x?x≠0?.

条射线Ox，建立了一个

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易误提醒

1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．

2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．

注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．

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[自测练习]

1??x′＝2x，

1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为?则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sin x的方程变

??y′＝3y，为________．

1x＝2x′，???x′＝2x，?

解析：由?知?1

y＝y′.???y′＝3y.?3代入y＝sin x中得y′＝3sin 2x′. 答案：y′＝3sin 2x′

2．点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为________．

π

解析：因为点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P

3π2，－?. 的极坐标为?3??

π2，－? 答案：?3??

π

2，?到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________． 3．(2015·高考北京卷)在极坐标系中，点??3?π

2，?的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x＋3y－6＝0，解析：点??3?|1＋3×3－6|

所以点(1，3)到直线的距离d＝＝1.

1＋3

答案：1

知识点二 参数方程 参数方程的概念

??x＝f?t?，

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数?

?y＝g?t?，?

???x＝f?t?，?x＝f?t?，

并且对于t的每一个允许值，由函数式?所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程?

?y＝g?t??y＝g?t???

叫作这条曲线的参数方程，变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．

易误提醒

1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则不等价．

2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.

2

[自测练习]

?x＝2＋22t，

4．在平面直角坐标系中，曲线C：?

2

y＝1＋t，?2

答案：x－y－1＝0

(t为参数)的普通方程为________．

解析：依题意，消去参数可得x－2＝y－1，即x－y－1＝0.

??x＝4－2t，?x＝2cos θ，

5．在平面直角坐标系xOy中，过椭圆?(θ为参数)的右焦点，且与直线?(t为

?y＝3－t??y＝3sin θ

参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________．

x2y2

解析：椭圆的普通方程为＋＝1，则右焦点的坐标为(1,0)．直线的普通方程为x－2y＋2＝0，过点

43xy??4＋3＝1，

(1,0)与直线x－2y＋2＝0平行的直线方程为x－2y－1＝0，由?得4x2－2x－11＝0，所以所

??x－2y－1＝0，求的弦长为

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答案： 4

考点一 曲线的极坐标方程|

π2θ－?＝. 1．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin ??4?2(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y， 即x2＋y2－x－y＝0，

π2θ－?＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝直线l：ρsin??4?20.

?x2＋y2－x－y＝0，?x＝0，??π

1，?. (2)由?得?故直线l与圆O公共点的一个极坐标为??2????x－y＋1＝0，?y＝1，

2

2

1?2

1＋??2?× ?1?2－4×?－11?＝15. ?2??4?4

π

θ－?＝2. 2．(2016·长春模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos??4?(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.

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