内容发布更新时间 : 2024/5/1 10:31:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

学院 机材学院 姓名 ：陈庭辉 班级：机A1231 学号：11213030144 “五家共井”问题是《九章算术》《方程》章中出现的、迄今为止世界上最早的不定方程。问题：今有五家共井，甲二绠不足，加乙一绠；乙三绠不足，加丙一绠；丙四绠不足，加丁一绠；丁五绠不足，加戊一绠；戊六绠不足，加甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？

题中的绠指汲水用的绳子。原题的意思是：五户人家共用一口小井，井深是：二条甲家的绳子加上一条乙家的绳长，或三条乙家的绳长加上一条丙家的绳长，或四条丙家的绳长加上一条丁家的绳长，或五条丁家的绳长加上一条戊家的绳长，或六条戊家的绳长加上一条甲家的绳长。试问井深、汲水绳长各为多少？

《九章算术》中给出的答案是：

答曰：井深七丈二尺一寸，甲绠长二丈六尺五寸，乙绠长一丈九尺一寸，丙绠长一丈四尺八寸，丁绠长一丈二尺九寸，戊绠长七尺六寸。

我们用现代方法讨论答案是如何得到的。

设甲、乙、丙、丁、戊家的绳长分别为x，y，z，u，v，并深为w。根据题意，可列方程组

2x＋y＝w 3y＋z＝w 4z＋u＝w 5u＋v＝w 6v＋x＝w

（1）×3－（2） 6x－z＝2w （6）×4＋（3） 24x＋u＝9w （7）×5＋（4） 120x－v＝44w （8）×6＋（5） 721x＝265w

265w 721191代入（1） y＝w

721148代入（2） z＝w

721129代入（3） u＝w

72176代入（4） v＝w

721∴x＝

由于原题中没有给出答案的范围和其他特定的条件，因此本题应该有无穷多组解。而上面给出的《九章算术》中的答案，w＝721，x＝265，y＝191，z＝148，u＝129，v＝76，只是无穷组解中的一组解。

所以，“五家共井”问题的答案应是：

井深:甲绠长:乙绠长:丙绠长:丁绠长:戊绠长 ＝721:265:191:148:129:76。