内容发布更新时间 : 2024/11/5 19:43:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1．2.4 从解析式看函数的性质
[学习目标] 1.理解函数单调性的定义，了解有界函数、无界函数的定义.2.运用函数单调性的定义判断函数的单调性.3.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析，体会函数最大值、最小值与单调性之间的关系及其几何意义.4.会利用函数的单调性求函数的最值．
[知识链接] 以下说法中：
①函数y＝2x在R上为增函数；
1
②函数y＝的单调递增区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
x③函数y＝x＋2x－3的单调递增区间为(1，＋∞)． 正确的有________． 答案 ① [预习导引]
1．函数的上界和下界
(1)上界和下界：设D是函数f(x)的定义域，如果有实数B使得f(x)≤B对一切x∈D成立，称B是函数f的一个上界，如果有实数A使得f(x)≥A对一切x∈D成立，称A是函数f的一个下界．
(2)有上界又有下界的函数叫有界函数，否则叫无界函数． 2．函数的最大值与最小值
(1)函数的最大值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有a∈D，使得不等式f(x)≤f(a)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝a处取到最大值M＝f(a)，称M为f(x)的最大值，a为f(x)的最大值点．
(2)函数的最小值定义：设D是函数f(x)的定义域，如果有b∈D，使得不等式f(x)≥f(b)对一切x∈D成立，就说f(x)在x＝b处取到最小值f(b)，称f(b)为f(x)的最小值，b为f(x)的最小值点． 3．函数的单调性
(1)函数的单调性定义：设I是f(x)定义域D的一个非空子集，如果对于I上任意两个值x1，
2
x2，当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递增函数；如果对于I上任
意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)是区间I上的递减函数． (2)如果函数y＝f(x)是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x)在I上严格单调，区间I叫作f(x)的严格单调区间．
(3)对于函数f(x)，设h＞0，差式f(x＋h)－f(x)叫作函数在区间I上的差分．差分为正的函数就是递增函数，差分为负的函数就是递减函数.
要点一 判断或证明函数的单调性
1
例1 证明函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数．
x证明 f(x＋h)＝x＋h＋1
， x＋h11－x－ x＋hx2
2
∴f(x＋h)－f(x)＝x＋h＋
11hhx＋hx－h＝h＋－＝h－＝.
x＋hxx?x＋h?x?x＋h?∵h＞0，x＞1，∴hx＋hx－h＞0，x(x＋h)＞0.
2
2
hx2＋h2x－h∴＞0.
x?x＋h?
即差分f(x＋h)－f(x)＞0，
1
∴f(x)＝x＋在(1，＋∞)上是递增函数．
x规律方法 证明函数单调性的步骤是：(1)作差分f(x＋h)－f(x)；(2)变形整理；(3)判断差分的符号；(4)下结论．
跟踪演练1 (1)设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，
x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )
A．f(x1)＜f(x2) C．f(x1)＝f(x2)
B．f(x1)＞f(x2) D．不能确定
3
(2)证明函数f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递减函数．
x(1)答案 D
解析 因为在函数的定义中特别强调了x1，x2两个值必须属于同一个单调区间，不是同一单调区间时不能比较函数值的大小，因此，f(x1)与f(x2)的大小关系无法确定，故选D. (2)证明 f(x＋h)－f(x)＝∵x＞0，h＞0，∴
33－3h－＝， x＋hxx?x＋h?
－3h＜0.
x?x＋h?
3
即差分f(x＋h)－f(x)＜0，故f(x)＝在(0，＋∞)上为单调递减函数．
x要点二 求函数的单调区间
例2 分别作出下列函数图象，写出它们的单调区间． (1)y＝x＋2x；(2)y＝2|x|；(3)y＝－x＋2|x|＋3.
解 (1)函数y＝x＋2x在(－∞，－1]上是递减函数，在[－1，＋∞)上是递增函数．
2
2
2
??2x，
(2)y＝2|x|＝?
??－2x，
x≥0，x＜0.
图象如图：
函数y＝2|x|在(－∞，0]上是递减函数，在[0，＋∞)上是递增函数．
??－x＋2x＋3，x≥0，
(3)∵f(x)＝?2
?－x－2x＋3，x＜0，?
2
图象如图：
函数y＝－x＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是递增函数，在[－1,0]，[1，＋∞)上是递减函数．
规律方法 利用函数的图象确定函数的单调区间，具体的做法是，先化简函数的解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置、状态，确定函数的单调区间．书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间． 跟踪演练2 作出函数y＝x|x|＋1的图象并写出其单调区间．
??x＋1，x≥0，
解 由题意可知y＝?2
?－x＋1，x＜0，?
2
2
作出函数的图象如图所示，所以原函数在(－∞，＋