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专题11：数列（2）

数列大题：10年8考，若解答题考数列大题，则解三角形题一般考一道小题，若解答题考解三角形大题，则数列一般考两道小题．数列一般考查通项、求和．数列应用题已经多年不考了，总体来说数列的地位已经降低，题目难度小．

1．（2019年）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝﹣a5． （1）若a3＝4，求{an}的通项公式；

（2）若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

【解析】（1）根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d， 若S9＝﹣a5，则S9＝

9?a1?a9?＝9a5＝﹣a5，变形可得a5＝0，即a1+4d＝0， 2若a3＝4，则d＝

a5?a3＝﹣2， 2则an＝a3+（n﹣3）d＝﹣2n+10， （2）若Sn≥an，则na1+

n?n?1?d≥a1+（n﹣1）d， 2当n＝1时，不等式成立， 当n≥2时，有

nd≥d﹣a1，变形可得（n﹣2）d≥﹣2a1， 29?a1?a9??a又由S9＝﹣a5，即S9＝＝9a5＝﹣a5，则有a5＝0，即a1+4d＝0，则有（n﹣2）1≥﹣2a1，

24又由a1＞0，则有n≤10， 则有2≤n≤10，

综合可得：n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．

2．（2018年）已知数列{an}满足a1＝1，nan+1＝2（n+1）an，设bn＝（1）求b1，b2，b3；

（2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式．

【解析】（1）数列{an}满足a1＝1，nan+1＝2（n+1）an，

an． n

an?1则：n?1?2（常数），

anna由于bn?n，

n故：

bn?1?2， bn数列{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列．

n?1n?1整理得：bn?b1q?2，

所以：b1＝1，b2＝2，b3＝4． （2）数列{bn}是为等比数列， 由于

bn?1?2（常数）； bnn?1（3）由（1）得：bn?2，

根据bn?an， nn?1所以：an?n?2．

3．（2017年）记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6． （1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列． 【解析】（1）设等比数列{an}首项为a1，公比为q， 则a3＝S3﹣S2＝﹣6﹣2＝﹣8，则a1＝

a3?8a3?8＝，a＝＝， 2

q2qqq2由a1+a2＝2，

?8?8+＝2，整理得：q2+4q+4＝0，解得：q＝﹣2， 2qq﹣

则a1＝﹣2，an＝（﹣2）（﹣2）n1＝（﹣2）n， ∴{an}的通项公式an＝（﹣2）n； （2）由（1）可知：Sn＝

a1?1?qn?1?qn?2?1???2????＝?1[2+（﹣2）n+1]， ＝

31???2?

则Sn+1＝?[2+（﹣2）n+2]，Sn+2＝?由Sn+1+Sn+2＝?[2+（﹣2）n+2] ?131[2+（﹣2）n+3]， 3131[2+（﹣2）n+3]， 31311＝?[4+2（﹣2）n+1]＝2×[?（2+（﹣2）n+1）]，

33＝2Sn，

即Sn+1+Sn+2＝2Sn，

∴Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．

＝?[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×（﹣2）n+1]，

4．（2016年）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝（1）求{an}的通项公式； （2）求{bn}的前n项和． 【解析】（1）∵anbn+1+bn+1＝nbn． 当n＝1时，a1b2+b2＝b1． ∵b1＝1，b2＝∴a1＝2，

又∵{an}是公差为3的等差数列， ∴an＝3n﹣1，

（2）由（1）知：（3n﹣1）bn+1+bn+1＝nbn． 即3bn+1＝bn．

即数列{bn}是以1为首项，以

1，anbn+1+bn+1＝nbn． 31， 31为公比的等比数列， 3n?1?1????3?＝31?3?n＝3?1．

∴{bn}的前n项和Sn＝??22?3n?1121?35．（2014年）已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6＝0的根． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{

an}的前n项和． 2n【解析】（1）方程x2﹣5x+6＝0的根为2，3．又{an}是递增的等差数列，