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第三章 一元线性回归模型

一、预备知识 （一）相关概念

对于一个双变量总体(yi,xi),若由基础理论，变量x和变量y之间存在因果关系，或x的变异可用来解释y的变异。为检验两变量间因果关系是否存在、度量自变量x对因变量y影响的强弱与显著性以及利用解释变量x去预测因变量

y，引入一元回归分析这一工具。

将给定xi条件下yi的均值

E(yi|xi)??0??1xi （3.1） 定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF）。定义

yi?E(yi|xi)为误差项（error term）,记为?i，即?i?yi?E(yi|xi)，这样yi?E(yi|xi)??i，或

yi??0??1xi??i （3.2） （3.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。其中，x称为解释变量（explanatory variable）或自变量（independent variable）；y称为被解释变量（explained variable）或因变量（dependent variable）；误差项?解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。误差项的构成包括以下四个部分：

（1）未纳入模型变量的影响 （2）数据的测量误差

（3）基础理论方程具有与回归方程不同的函数形式，比如自变量与因变量之间可能是非线性关系

（4）纯随机和不可预料的事件。

在总体回归模型（3.2）中参数?0,?1是未知的，?i是不可观察的，统计计量分析的目标之一就是估计模型的未知参数。给定一组随机样本

(xi,yi),i?1,2,?,n，对（3.1）式进行估计，若E(yi|xi),?0,?1的估计量分别记为yi,?0,?1，则定义3.3式为样本回归函数

yi??0??1xi （i?1,2,?,n） （3.3）

注意，样本回归函数随着样本的不同而不同，也就是说?0,?1是随机变量，它们的随机性是由于yi的随机性（同一个xi可能对应不同的yi）与x的变异共同引起的。定义yi?yi为残差项（residual term）,记为ei，即ei?yi?yi，这样

yi?yi?ei，或

^^^^^^^^^^^ yi??0??1xi?ei （i?1,2,?,n） （3.4）

^^（3.4）式称为样本回归模型或者随机样本回归函数。样本回归模型中残差项ei可视为总体回归模型中误差项?i的估计量。 （二）参数估计：普通最小二乘法

如何估计总体参数?0,?1的估计量?0,?1，或如何获得样本回归函数呢？在回归分析中，使用最广泛的方法是最小二乘法，一般称为普通最小二乘法（Ordinary Least Squares,OLS）。OLS求解未知参数?0,?1的估计量?0,?1，使残差平方和最小。即

Minimize ?e??(yi?yi)??(yi??0??1xi)2 （3.5）

2i2i?1i?1i?1nn^n^^1

^^^^求解（3.5）式可得

^ ?1??(xi?1nni?x)(yi?y)i?(xi?1 ，?0?y??1x （3.6）

?x)2^^1n1n其中，x??xi，y??yi。

ni?1ni?1（三）古典线性回归模型

统计推断除了包括参数估计外还包括假设检验，在根据样本回归函数检验假设时，需要对误差项?i的生成过程做一些假定。

假定1 回归模型是参数线性的，但可以不是变量线性的。 假定2 解释变量xi与随机误差项?i不相关。即

cov(xi,?i)?0。

如果解释变量xi是非随机的，则该假设自动满足。 假定3 零均值假定。即

E(?i)?0

假定4 同方差假定。即

var(?i)??2

假定5 无自相关假定。即两个误差项之间不相关

cov(?i,?j)?0 i?j

假定6 回归模型是正确设定的。 假定7 正态性假定。即

1

之所以称为普通最小二乘法，是因为还有一种方法称为广义最小二乘法，普通最小二乘法是广义最小二乘法的特例。

?i～N(0,?2)

满足以上假定的回归模型称为古典线性回归模型（Classical Line Regression Model,CLRM）。 （四）高斯-马尔科夫定理

如果古典线性回归模型的基本假定成立，则OLS估计是最优线性无偏估计量（Best Linear Unbiased Estimators,BLUE）。 （五）预测原理

回归分析的目的之一是利用回归模型预测因变量。比如，金融决策经常涉及一个长期的资源承诺（a long-term commitment of resources）, 决策的收益将取决于将来发生的事情。

假设双变量总体的回归模型为（3.2），即

yi??0??1xi??i （3.2） 在一组随机样本(yi,xi),i?1,2,?,n下，利用OLS求得样本回归函数为（3.3） yi??0??1xi （i?1,2,?,n） （3.3） 给定样本外一点xf，则因变量yf的点预测为

yf??0??1xf （3.7） 点预测yf的标准误为

^^^^^^^1 se(yf)??1??(xf?x)2n^^?(xi?1ni ?x)2 （3.8）

因变量yf的置信度为1??的区间预测为

[yf?t?2(n?2)se(yf), yf?t?2(n?2)se(yf)] （3.9）

^^^^

二、案例

[案例1] 经济形势对人们工作意愿的影响

根据劳动经济学理论，经济形势对人们工作意愿的影响存在两个互相独立的效应：受挫工人效应和增加工人效应。用失业率度量(UNR)经济形势，用劳动力参与率(LFPR)度量人们的工作意愿。受挫工人假说认为当经济形势恶化时，许多失业工人就业意愿降低，放弃寻找工作并退出劳动力市场，从而劳动力参与率下降；增加工人假说认为当经济形势恶化时，许多尚未进入劳动力市场的后备工人，比如带孩子的母亲，可能会由于养家的人失去工作而决定进入劳动力市场，即使这些工作的报酬很低，只要可以弥补由于养家的人失去工作而造成的损失即可，从而劳动参与率上升。