内容发布更新时间 : 2025/1/7 13:06:39星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

求数列的前n项和的方法 (1)公式法

①等差数列的前n项和公式 S＝n?a1＋an?2＝nan?n－1?n1＋2d.

②等比数列的前n项和公式 (ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；

(ⅱ)当q≠1时，Sa1?1－qn?a1－anq

n＝1－q＝1－q.

(2)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ①

1n?n＋1?＝1n－1

n＋1

；

②1?2n－1??2n＋1?＝12?1?2n－1－12n＋1??；

③

1

n＋n＋1

＝n＋1－n.

(4)倒序相加法

把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050. 【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

a1－an＋1

(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.( √ )

1－q1111

(2)当n≥2时，2＝(－)．( √ )

n－12n－1n＋1

(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．( × )

11

(4)数列{n＋2n－1}的前n项和为n2＋n.( × )

22

(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.( √ )

1

1．(教材改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于( )

n?n＋1?A．1 1C. 6答案 B

111

解析 ∵an＝＝－，

nn?n＋1?n＋1

11115

∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.

22366

2．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于( )

－

5

B. 61D. 30

A．200B．－200C．400D．－400 答案 B

解析 S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.

1??2?4x?10?等于( ) 3．设f(x)＝x，利用倒序相加法，则f?＋f＋…＋f?11??11??11?4＋2A．4B．5C．6D．10 答案 B

解析 当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)

xx14x2x?4x1?2?(4x1?4x2)?x1???1. 4?24x2?24x2?x2?(4x1?4x1?4x2)1??2?＋…＋f?10?，倒序相加有2S＝?f?1?＋f?10??＋?f?2?＋f?9??＋…＋设S＝f?＋f?11??11??11???11??11????11??11??

?f?10?＋f?1??＝10，

??11??11??

即S＝5.

4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为Sn＝________. 答案 2n1－2＋n2

＋

2?1－2n?n?1＋2n－1?n1

解析 Sn＝＋＝2＋－2＋n2.

21－2

nπ

5．数列{an}的通项公式为an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2017＝________.

2答案 1008

nπ

解析 因为数列an＝ncos呈周期性变化，观察此数列规律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4

2＝4.

故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2. ∴S2017＝S2016＋a2017 ＝

20162017

×2＋2017·cosπ 42

＝1008.

题型一 分组转化法求和

n2＋n例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N＋.

2(1)求数列{an}的通项公式；