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2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学I

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．（1）【2017年江苏，1，5分】已知集合A?{1，2}，B?{a,a2?3}．若A【答案】1

【解析】∵集合A?{1，2}，B?{a,a2?3}．AB??1?，则实数a的值为_______．

B??1?，∴a?1或a2?3?1，解得a?1．

【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年江苏，2，5分】已知复数z??1?i??1?2i?，其中i是虚数单位，则z的模是_______． 【答案】10 【解析】复数z??1?i??1?2i??1?2?3i??1?3i，∴z???1?2?32?10．

【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年江苏，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，

100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18

606【解析】产品总数为200?400?300?100?1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为，则应从丙 ?10001006种型号的产品中抽取300??18件．

100【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，

即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．

1（4）【2017年江苏，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是_______．

16【答案】?2

14116【解析】初始值x?，不满足x?1，所以y?2?log2?2?log22??2．

16【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于

基础题．

??1?（5）【2017年江苏，5，5分】若tan?????．则tan??_______．

4?6?7【答案】

5???4?tan??1?1，∴6tan??6?tan??1，解得tan??7． 【解析】tan?????4?1?tan?tan?tan??165?4【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年江苏，6，5分】如如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相

V切。记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则1的值是________．

V23【答案】

2V12?R334233【解析】设球的半径为R，则球的体积为：?R，圆柱的体积为：?R?2R?2?R．则??．

V24?R3233【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

（7）【2017年江苏，7，5分】记函数f(x)?6?x?x2 的定义域为D．在区间[?4，则x?D 5]上随机取一个数x，

1 / 9

tan??tan?的概率是________．

5【答案】

9【解析】由6?x?x2?0得x2?x?6?0，得?2?x?3，则D?[?2，则在区间[?4，则x?D 3]，5]上随机取一个数x，

的概率P?3???2?5???4??5． 9【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是

解决本题的关键．

x2（8）【2017年江苏，8，5分】在平面直角坐标系xoy中 ，双曲线?y2?1 的右准线与它的两条渐近线分别

3交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是_______． 【答案】23 ?33??33?x233,Q,?【解析】双曲线?y2?1的右准线：x?，双曲线渐近线方程为：y?，x，所以P?????22??2?， 2332????1F1??2,0?．F2?2,0?．则四边形F1PF2Q的面积是：?4?3?23．

2【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

763（9）【2017年江苏，9，5分】等比数列?an?的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知S3?，S6?，则a8? 44________． 【答案】32

a1?1?q3?7a1?1?q6?63763?，?， 【解析】设等比数列?an?的公比为q?1，∵S3?，S6?，∴

1?q41?q44411解得a1?，q?2．则a8??27?32．

44【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （10）【2017年江苏，10，5分】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总

存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是________． 【答案】30

600900【解析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=． ?6?4x?4?2??x?240（万元）

xx当且仅当x?30时取等号．

【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

13（11）【2017年江苏，11，5分】已知函数f?x??x?2x?xe?x，其中e是自然数对数的底数，若

e2f?a?1??f2a?0，则实数a的取值范围是________．

???1?【答案】??1,?

?2?1112xx?的导数为：fx?3x?2?e???2?2e??0，可得f?x?在R上 ??xeexex13递增；又f??x??f?x????x??2x?e?x?ex?x3?2x?ex?x?0，可得f?x?为奇函数，

e1则f?a?1??f2a2?0，即有f2a2??f?a?1??f?1?a?，即有2a2?1?a，解得?1?a?．

2【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不

等式的解法，考查运算能力，属于中档题．

（12）【2017年江苏，12，5分】如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC，的模分别为1，1，2，OA与

【解析】函数f?x??x3?2x?ex?????2 / 9

，则 OC的夹角为?，且tan??7，OB与OC的夹角为45?。若OC?mOA?nOB（m,n?R）

m?n?________． 【答案】3

【解析】如图所示，建立直角坐标系．A?1,0?．由OA与OC的夹角为?，且tan??7．

∴cos??152，sin??23?17?．∴C?,?．cos???45????cos??sin????．

2552?55?72434?， ?sin??cos???．∴B???,?．∵OC?mOA?nOB（m,n?R）

5525??137475∴?m?n，?0?n，解得n?，m?．则m?n?3． 555544【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （13）【2017年江苏，13，5分】在平面直角坐标系xOy中，A，B，点P在圆O：x2?y2?50上，（-12，0）（0，6）sin???45???若PA?PB?20，则点P的横坐标的取值范围是________． 【答案】??52,1?

??【解析】根据题意，设P?x0,y0?，则有x02?y02?50，

22PA?PB???12?x0,y0???x0,6?y0???12?x0?x0?y0?6?y0??12x0?6y0?x0?y0?20，

化为12x0?6y0?30?0，即2x0?y0?5?0，表示直线2x?y?5?0以及直线下方的区域，

22??x0?y0?50联立?，解可得x0??5或x0?1，由图得：点P的横坐标x0的取值范围是??52,1?．

????2x0?y0?5?0【点评】本题考查数量积运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．

?x2,x?D（14）【2017年江苏，14，5分】设f?x?是定义在R且周期为1的函数，在区间??0,1?上， f?x???x,x?D，

??n?1?,n?N*?，则方程f?x??lgx?0的解的个数是_______． 其中集合D??xx?n??【答案】8

?x2,x?D【解析】∵在区间??0,1?上，f?x???x,x?D，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f?x?是定义在R

?2???x?1?,x?D上且周期为1的函数，∴在区间?1,2?上，f?x???，此时f?x?的图象与y?lgx有且只有

??x?1,x?D一个交点；同理：区间?2,3?上，f?x?的图象与y?lgx有且只有一个交点；区间?3,4?上，f?x?的图象与y?lgx有且只有一个交点；区间?4,5?上，f?x?的图象与y?lgx有且只有一个交点；区间?5,6?上，f?x?的图象与y?lgx有且只有一个交点；区间?6,7?上，f?x?的图象与y?lgx有且只有一个交点；

区间?7,8?上，f?x?的图象与y?lgx有且只有一个交点；区间?8,9?上，f?x?的图象与y?lgx有且只???上，f?x?的图象与y?lgx无交点；有一个交点；在区间?9，故f?x?的图象与y?lgx有8个交点；

即方程f?x??lgx?0的解的个数是8．

【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明．．．．．．．．过程或演算步骤． （15）【2017年江苏，15，14分】如图，在三棱锥A?BCD中，AB?AD，BC?BD，

平面ABD?平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF?AD． （1）EF//平面ABC； （2）AD?AC． 解：（1）在平面ABD内，因为AB?AD，EF?AD，所以EF//AB．又因为EF?平面

ABC，AB?平面ABC，所以EF//平面ABC．

（2）因为平面ABD?平面BCD，平面ABD平面BCD?BD，

3 / 9

所以BC?平面ABD．因为AD?平面ABD，所以BC?AD．又AB?AD， BC?平面BCD，BC?BD，

BCAB?B，AB?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD?平面ABC，

又因为AC?平面ABC，所以AD?AC．

【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线

面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题． sinx?，b?3,?3，x??0,??． （16）【2017年江苏，16，14分】已知向量a??cosx，?? （1）若a//b，求x的值；

（2）记f?x??a?b，求f?x?的最大值和最小值以及对应的x的值．

?(cosx,sinx)，b?(3,?3)，a//b，所以?3cosx?3sinx．若cosx?0，则sinx?0， 解：（1）因为a 5π3与sin2x?cos2x?1矛盾，故cosx?0．于是tanx??．又x??0,??，所以x?．

63π（2）f(x)?a?b?(cosx,sinx)?(3,?3)?3cosx?3sinx?23cos(x?)．

6ππ7ππππ3因为x??0,??，所以x??[,]，从而?1?cos(x?)?．于是，当x??，即x?0时，f?x?

6666662π5π取到最大值3；当x???，即x?时，f?x?取到最小值?23．

66【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题．

x2y2（17）【2017年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:2+2=1?a?b?0?的左、

ab1右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于

2第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标，

1c1 因为椭圆E的离心率为，解：（1）设椭圆的半焦距为c．两准线之间的距离为8，所以?，

2a22a2x2y222a?2,c?1 解得，于是b?a?c?3，因此椭圆E的标准方程是??8，?1．

c43（2）解法一：

由（1）知，F1(?1,0)，F2(1,0)．设P(x0,y0)，因为点P为第一象限的点，故x0?0,y0?0． 当x0?1时，l2与l1相交于F1，与题设不符．

y0y0当x0?1时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为．因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的

x0?1x0?1?x0?1x0?1x0?1?y??(x?1)， ① 斜率为，直线l2的斜率为，从而直线l1的方程：

y0y0y022x0?11?x01?x0(x?1)． ② 由①②，解得x??x0,y?)． 直线l2的方程：y??，所以Q(?x0,y0y0y021?x02222??y0，即x0?y0?1或x0?y0?1． 因为点Q在椭圆上，由对称性，得

y022?x?y?10022?2x0y047372 又P在椭圆E上，故，解得x0?；,y0???1．由?x0y07743??1?3?422?x0?y0?1?247372，无解．因此点P的坐标为(,)． ?x0y077?1??3?4解法二：

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设P?m,n?，由P在第一象限，则m?0，n?0，

当m?1时，kPF2不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，

nnm?1m?1，kPF1?，由l1?PF1，l2?PF2，则kl1??，kl2??， m?1m?1nnm?1m?1直线l1的方程y???x?1?，①直线l2的方程y???x?1?，②

nn?m2?1?m2?1联立解得：x??m，则Q??m,??n2，即m2?n2?1， ?，由Q在椭圆方程，由对称性可得：

n?n?当m?1时，kPF2??216?m2?1?n2?1?m2?n2m?????7或m2?n2?1，由P，在椭圆方程，?m2n2，解得：?，或?m2n2，无解， （m,n）9??1??1???n2?343?4??7??4737?又P在第一象限，所以P的坐标为：P??7,7??．

??【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计

算能力，属于中档题．

（18）【2017年江苏，18，16分】如如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器

Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm． 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，

求l没入水中部分的长度；

（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度． 解：（1）由正棱柱的定义，CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC．

记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处．因为AC?107,AM?40，所以MC?402?(107)2?30，

3，记AM与水面的焦点为P11?AC，Q1为垂足， 1，过P1作PQ4PQ11?PQ?12AP??16． ABCD则PQ平面，故，从而11111sin∠MAC∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．

OO1?平面EFGH，O，O1是正棱台的两底面中心． 所以平面E1EGG1? （2）如图，由正棱台的定义，

平面EFGH，O1O?EG．同理，平面E1EGG1?平面E1FG11H1，O1O?E1G1．记玻璃棒的另一端落在 GG1上点N处．过G作GK?E1G，K为垂足，则GK?OO1?32．因为EG? 14，E1G1? 62，

62?14?24，从而GG1?KG12?GK2 ?242?322?40． 所以KG1?2?4设∠EGG1??,∠ENG??，则sin??sin(?∠KGG1)?cos∠KGG1?．

254014?3?因为????，所以cos???．在△ENG中，由正弦定理可得， sin?sin?257?24解得sin??． 因为0???，所以cos??．

25225424373于是sin∠NEG?sin(?????)?sin(???)?sin?cos??cos?sin????(?)??．

5255255记EN与水面的交点为P2，过 P2作P2Q2?EG，Q2为垂足，则P2Q2?平面 EFGH，故P2Q2?12，

P2Q2?20．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm． 从而 EP2?sin∠NEG【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，

从而sin∠MAC?5 / 9