内容发布更新时间 : 2024/9/30 22:39:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二章 圆锥曲线与方程

1．能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程，能够用“坐标法”研究椭圆的基本性质，能够利用数形结合思想、分类讨论思想、参数法解决椭圆中的有关问题． 2．能够根据所给的几何条件熟练地求出双曲线方程，并能灵活运用双曲线定义、参数间的关系解决相关问题；准确理解参数a、b、c、e的关系、渐近线及其几何意义，并灵活运用． 3．会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质以及会由几何性质确定抛物线的方程．了解抛物线的一些实际应用．

题型一 圆锥曲线定义的应用

研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题．

例1 若点M(1,2)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的

167最小值是________．

x2y2

答案 8－25

解析 设点B为椭圆的左焦点，则B(－3,0)，点M(1,2)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，

所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|， 而a＝4，|BM|＝

1＋3

2

＋2＝25，

2

所以(|AM|＋|AC|)min＝8－25.

跟踪演练1 抛物线y＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( ) A．x1，x2，x3成等差数列 B．y1，y2，y3成等差数列 C．x1，x3，x2成等差数列 D．y1，y3，y2成等差数列

2

答案 A

解析 如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义： |AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|. ∵2|BF|＝|AF|＋|CF|， ∴2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.

又∵|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋，

222∴2(x2＋)＝x1＋＋x3＋?2x2＝x1＋x3，

222∴选A.

题型二 有关圆锥曲线性质的问题

有关求圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等是考试中常见的问题，只要掌握好基本公式和概念，充分理解题意，大都可以顺利求解．

pppppp

x2y2

例2 双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是

ab( )

3

A．2B.3C.2D. 2答案 C

x2y2bbbb2

解析 双曲线2－2＝1的两条渐近线方程为y＝±x，依题意·(－) ＝－1，故2＝1，

abaaaa22c－a2

所以2＝1即e＝2，所以双曲线的离心率e＝2.故选C.

ax2y2x2y2

跟踪演练2 已知椭圆2＋2＝1和双曲线2－2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近

3m5n2m3n线方程是( )

1515

A．x＝±yB．y＝±x

22C．x＝±答案 D

解析 由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上， ∴椭圆焦点(±3m－5n，0)， 双曲线焦点(±2m＋3n，0)，

∴3m－5n＝2m＋3n，∴m＝8n，

6·|n|

又∵双曲线渐近线为y＝±·x，

2|m|∴由m＝8n，|m|＝22|n|，得y＝±

2

2

2

2

2

2

2

2

222

2

33yD．y＝±x 44

3

x. 4

题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题

1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行．

2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题．

3．这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等．

例3 已知向量a＝(x，3y)，b＝(1,0)且(a＋3b)⊥(a－3b)．