内容发布更新时间 : 2025/1/14 4:44:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
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导数与函数的单调性
【考点梳理】
函数的导数与单调性的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数． 【考点突破】
考点一、判断或证明函数的单调性
【例1】已知函数已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性. 1
[解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
x若a≤0，则f′(x)>0恒成立， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
?1?若a>0，则当x∈?0，?时，f′(x)>0；
?
a?
??x∈?，＋∞?时，f′(x)<0，
?a?
?1??1?所以f(x)在?0，?上单调递增，在?，＋∞?上单调递减.
?
a?
1
?a?
【类题通法】
用导数判断或证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)一求．求f′(x)；
(2)二定．确认f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)三结论．作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数． 【对点训练】
已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，试讨论f(x)的单调性． [解析] f′(x)＝3x＋2ax，令f′(x)＝0， 2a解得x1＝0，x2＝－.
3
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当a＝0时，因为f′(x)＝3x≥0，所以函数f(x) 在(－∞，＋∞)上单调递增；
2a??当a＞0时，x∈?－∞，－?∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0， 3??
2
?2a?x∈?－，0?时，f′(x)＜0， ?
3
?
2a???2a?所以函数f(x)在?－∞，－?，(0，＋∞)上单调递增，在?－，0?上单调递减； 3???3?
?2a?当a＜0时，x∈(－∞，0)∪?－，＋∞?时，f′(x)＞0， ?3?
2a??x∈?0，－?时，f′(x)＜0，
3
??
2a??2a??所以函数f(x)在(－∞，0)，?－，＋∞?上单调递增，在?0，－?上单调递减. 3??3??
考点二、求函数的单调区间
x2
【例2】已知函数f(x)＝2－aln x，a∈R，求f(x)的单调区间． [解析] 因为f(x)＝－aln x，所以x∈(0，＋∞)，
2
x2
ax2－af′(x)＝x－＝. xx(1)当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数. （x＋a）（x－a）
(2)当a>0时，f′(x)＝，则有
x①当x∈(0，a)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(0，a). ②当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(a，＋∞). 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a)，单调递增区间为(a，＋∞). 【类题通法】
求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)；
(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间；
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(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间． 【对点训练】
已知函数f(x)＝ax－a－ln x，a∈R，求f(x)的单调区间． 12ax－1
[解析] 由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0).
2
2
xx当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减. 当a>0时，由f′(x)＝0有x＝12a，
1??. 2a?1
，＋∞??. 2a?
?0，1??
当x∈??时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为?0，
2a????1，＋∞??当x∈??时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为?
?2a??
综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间.
?0，1??1，＋∞?当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为??，单调递增区间为??.
2a???2a?
考点三、已知函数的单调性求参数
【例3】已知函数f(x)＝x－ax－1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围． [解析] 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f′(x)＝3x－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x对x∈R恒成立. 因为3x≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x≥0，f(x)＝x－1在R上是增函数，所以a≤0， 即实数a的取值范围为(－∞，0].
【变式1】函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围． [解析] 因为f′(x)＝3x－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即3x－a≥0在(1，＋∞)上恒成立， 所以a≤3x在(1，＋∞)上恒成立， 所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3].
【变式2】函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．
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