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2018吉林中考数学总复习动点问题

因动点产生的等腰三角形问题练习

年 班 姓名 成绩：

1.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°． （1）求ED、EC的长；

（2）若BP＝2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

图1 备用图

解：（1）在Rt△ABC中， AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．

ED?CD?tan?C?5?31525在Rt△CDE中，CD＝5，所以

4?4EC?，4． （2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是

△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．

由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN． 因此△PDM∽△QDN．

PM?DM434所以QNDN?3QN?PMPM?QN．所以4，3．

图2 图3 图4

①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1． QN?33319此时

4PM?4CQ?CN?QN?4?．所以

4?4． ②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．

QN?3PM?15CQ?CN?QN?4?1531此时

44．所以4?4． tan?QPD?QDDN3（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，

PD?DM?4． tan?C?BA3在Rt△ABC中，

CA?4．所以∠QPD＝∠C． 由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．

因此△PDF∽△CDQ．

当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．

①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．

1

PM?4此时

3QN?43BP?BM?PM?3?4?5．所以33． cosC?CHCQ?5425②如图6，当QC＝QD时，由

CQ??，可得258． 4?257所以QN＝CN－CQ＝8?8（如图2所示）．

PM?47此时

3QN?6BP?BM?PM?3?725．所以6?6． ③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．

图5 图6

2.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

解：（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)， 代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．

所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．

当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小． 设抛物线的对称轴与x轴的交点为H． BH由

BO?PHCO，BO＝CO，得PH＝BH＝2． 所以点P的坐标为(1, 2)． 图2

（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,?6)或(1,0)．

3.如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置． （1）求点B的坐标；

（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

解：（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．

在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，OC?23． 所以点B的坐标为(?2,?23)．

（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，

3代入点B(?2,?23)，?23??2a?(?6)．解得

a??6． 所以抛物线的解析式为y??36x(x?4)??32236x?3x．

（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2, y)．

①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得y??23． 当P在(2,23)时，B、O、P三点共线（如图2）．

②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以42?(y?23)2?16．解得y1?y2??23． ③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以42?(y?23)2?22?y2．解得y??23． 综合①、②、③，点P的坐标为(2,?23)，如图2所示．

图2 图3

4.如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y?43x 的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l

2

都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒． ①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？

②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 图1

??y??x?7,?y?4?x?3,解：（1）解方程组??3x,? 得?y?4. 所以点A的坐标是(3，4)． 令y??x?7?0，得x?7．所以点B的坐标是(7，0)．

（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APR?S梯形CORA?S△ACP?S△POR?8，得112（3+7?t)?4?2?4?(4?t)?12?t(7?t)?．8整理，得t2?8t?12?0．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．

因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．

图2 图3 图4

②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．

如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB?42，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．

如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．

因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况． 此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1． 我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．

在△APQ中，

cos?A?355为定值，AP?7?t，AQ?OA?OQ?OA?3OR?53t?203． 520如图5，当AP＝AQ时，解方程

7?t?3t?3，得t?418． 如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程7?t?2[(7?t)?(t?4)]，得t?5．

1如7，当PA＝PQ时，那么

cos?A?2AQ5AP．因此AQ?2AP?cos?A．解方程3t?203?2(7?t)?35，得

t?22643． 41226综上所述，t＝1或8或5或43时，△APQ是等腰三角形．

图5 图6 图7

5.如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y． （1）求y关于x的函数关系式；

（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

（3）若

y?12m，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ 图1

解：(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以

DC?EBm?8?x18△DCE∽△EBF．因此CEBFy??x2?，即xy整理，得y关于x的函数关系为mmx．．

y??1x2?x??1(x?4)2?2(2)如图2，当m＝8时，88．因此当x＝4时，y取得最大值为2．

(3) 若

y?1212mm??1x28，那么m?mx．整理，得x2?8x?12?0．解得x＝2或x＝6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y ＝2

1212代入y?m，得m＝6（如图3）；将x＝y ＝6代入y?m，得m＝2（如图4）．

图2 图3 图4

6.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．

3

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2

图3

解：（1）如图4，过点E作EG⊥BC于G．

BE?1在Rt△BEG2AB?2中，

，∠B＝60°，

所以BG?BE?cos60??1，EG?BE?sin60??3．

所以点E到BC的距离为3．

（2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点． 因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4．

①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不是否发生改变． 过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q．

在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝3． 在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x． 所以BG＝PQ＝1．

因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2． 在Rt△PNH中，NH＝3，PH＝2，所以PN＝7． 在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4． 因此△PMN的周长为3＋7＋4．

图4 图 5

②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形．

如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上． 在Rt△PCM中，PM＝3，∠PCM＝30°，所以MC＝3． 此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2．