内容发布更新时间 : 2025/1/1 2:59:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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（4）如果你是网站经营管理人员，你觉得DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。 表1 对1000个会员调查的部分结果 DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 愿意观看的人200 100 50 25 10 数 表2 现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例） DVD编号 D001 D002 D003 D004 … DVD现有数量 10 40 15 20 … C0001 6 0 0 0 … 会员C0002 0 0 0 0 … 在线C0003 0 0 0 3 … 订单 C0004 0 0 0 0 … … … … … … … 注：D001~D100表示100种DVD, C0001~C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。

二、问题的分析

问题分析：题中列出了网站手上20种DVD的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单，要得到使会员获得最大满意度的DVD分配方案，这可以通过建立线形规划模型来实现。由于每个会员对不同DVD的偏爱程度不同，且题中所给的列表中会员的在线订单中数字越小表示会员的偏爱程度越高。由于每个会员可以按偏爱程度在20种DVD (可以参考)

五、模型的建立与求解

（一）：问题一

由历史数据，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外40%的人只租一次。由假设会员如果在当月归还了DVD，一般会同时有第2次的租赁要求，因此认为有60%的会员在一个月有两次租赁需求，其他40%的会员为一次。近似认为会员的需求基本上能满足，从而认为有60%的会员会在一个月内归还DVD，另外40%则不能。在一个月内归还的DVD还可以满足另一个会员，又新购DVD一般会较受欢迎，因此认为该DVD一直在周转中，没有出现该DVD空闲情况。故可以合理地认为一张新DVD在一个月内以60%的概率满足两个会员，40%的概率满足一个会员，从而一张DVD的相对一个人来说使用率为 60%?40%?0.7；

2需要准备的DVDj张数为Qj；由调查结果1000个会员中愿意观看DVD的购买量

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为xi。

模型一、

保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD需要准备的DVD的张数：

100000Qj??xj?50%?0.7

1000

保证希望看到该DVD的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD需要准备的DVD的张数：

100000Qj??xj?95%?0.7?3

1000模型的求解：

当x1?200时 保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该

DVD需要准备的DVD的张数

100000Q1??200?50%?0.7?7000

1000

保证希望看到该DVD的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD需要准备的DVD的张数：

100000Q1??200?95%?0.7?3?4434

1000同理可得各种DVD需要准备的张数，计算得下表1： 表1：各种DVD需要准备的张数

DVD名称 DVD1 为50%时DVD购买7000 量 为95%时DVD购买4434 量 DVD2 3500 2217 DVD3 1750 1109 DVD4 875 555 DVD5 350 222 为了验证模型一的准确性：我们建立了模型二 模型二

我们将每月租凭DVD两次的会员平均分成两部分，一部分是在月初借DVD，月中还DVD；第二部分是在月中借DVD，月末还DVD；这样就将第一部分月初借的DVD在月中的时候再借给第二部分；这样就能使需要准备的DVD数达到最小。

保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD需要准备的DVD的张数：

100000?xj?600000Qj?(1000?xj?40%)?50%

21000保证希望看到该DVD的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD需要准备的

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DVD的张数：

100000(1000Qj??xj?60%2?100000xj?40%)?9500 3模型求解：

保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD需要准备的DVD的张数：

100000?200?6000001000Qj?(?200?40%)?50%?7000

21000保证希望看到该DVD的会员中至少95%在三个月内能够看到该DVD需要准备的DVD的张数：

100000?200?6000001000(?200?60%)?95!000Q1??4434

3同理可得各种DVD需要准备的张数，计算得下表2： 表2：各种DVD需要准备的张数

DVD名称 DVD1 为50%时DVD购买7000 量 为95%时DVD购买4434 量 (二)、问题二

DVD2 3500 2217 DVD3 1750 1109 DVD4 875 555 DVD5 350 222 会员i对某种DVD偏爱度cij的量化：会员对DVD偏爱度cij是随着订单数字

aij(aij?0时)的增加而减少，其中会员对网站的满意度与满足会员的偏爱度是挂

钩的；因此我们可用一非增函数来度量；从心理学的角度来看：随着aij的增加，相邻的两个订单数字之间的偏爱度的差会越来越小，所以我们定义了;

1?c?aij?0?ija ? ij

a?0ij?c?0ij?不同会员在对同一种DVD偏爱指数相同时，我们在分配DVD时优先考虑编号在前的会员。要确定把那张DVD租给哪个会员，才能使满意度达到最大，因此我们引入xij表示把第j种DVD是否租给第i个会员；从问题我们可以看出这是一个如何分配的问题，我们不妨把其中现有DVD的张数看成现有判断条件为需要完成的任务，把每一为会员看成完成这些任务的人选，其中他们对各种DVD的

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偏爱度就代表他们完成相对应的任务的能力；我们就要使他们对各种任务的完成能力达到最大；

i?1000j?100 maxB???cxi?1j?1ijij

约束条件所有的会员分配到j种DVD的数量之和不能超过现有的第j种DVD的张数

i?1000

?xi?1ij??bj (j?1、2...100；xij为0-1变量)

由于网站每次对每个会员DVD的分配要么0张要么3张所以

j?100

?j?0?3ui （i=1、2、...1000；uij为0-1变量）

对问题（2）建立0—1规划模型。 模型三： 目标函数；

i?1000j?100 maxB???cxi?1j?1ijij

?i?1000??xij??bj?i?1??约束条件：（ui、xij均为0-1变量；i=1、2....1000；j=1、2....100）； ?j?100?x?3ij??j?0???模型求解： 用LINGO 数学软件实现对此题0-1规划模型的求解；执行的代码

见附录一；可以获得的最大满意度为1634.712其中前30位会员（即C0001~C0030）获得DVD情况如下表所示

前30名会员获得DVD的情况 会员编号 DVD编号 C0001 C0002 C0003 C0004 C0005 C0006 .

DVD8 DVD41 DVD98 DVD 6 DVD32 DVD 7 DVD66 DVD 44 DVD 50 DVD 18 DVD 68 DVD 62 DVD 80 DVD 41 DVD 11 DVD 19 DVD 53 DVD 66