内容发布更新时间 : 2024/5/24 20:36:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）

教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.

教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？

a?b?ab(a?0,b?0)及几种变式. 22. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2

答案：

证法：（比较法）(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2=….=(ad?bc)2?0 二、讲授新课：

1. 教学柯西不等式：

① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）(a2?b2)(c2?d2)?a2c2?a2d2?b2c2?b2d2

?(ac?bd)2?(ad?bc)2?(ac?bd)2. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量m?(a,b)，n?(c,d)，则|m|?a2?b2，|n|?c2?d2. ∵ m?n?ac?bd，且mn?|m||n|cos?m,n?，则|mn|?|m||n|. ∴ ….. 证法四：（函数法）设f(x)?(a2?b2)x2?2(ac?bd)x?c2?d2，则

f(x)?(ax?c)2?(bx?d)2≥0恒成立.

∴ ??[?2(ac?bd)]2?4(a2?b2)(c2?d2)≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 变式：a2?b2 或a2?b2c2?d2?|ac?bd| 或 a2?b2c2?d2?|ac|?|bd|

c2?d2?ac?bd.

④ 提出定理2：设?,?是两个向量，则|??|?|?||?|. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）

→ 讨论：上面时候等号成立？（?是零向量，或者?,?共线）

⑤ 练习：已知a、b、c、d为实数，求证a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d)2. 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：

① 出示定理3：设x1,y1,x2,y2?R，则x12?y12?x22?y22?(x1?x2)2?(y1?y2)2. 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明

→ 变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3?R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习：

1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 作业：教材P37 4、5题. 第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程：

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一、复习准备：

1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？

答案：(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2；x12?y12?x22?y22?(x1?x2)2?(y1?y2)2 2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？ 3. 如何利用二维柯西不等式求函数y?x?1?2?x的最大值? 要点：利用变式|ac?bd|?a2?b2二、讲授新课：

1. 教学最大（小）值：

c2?d2.

① 出示例1：求函数y?3x?1?10?2x的最大值？

分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 →

变

式

：

y?3x?1?10?2xe,? → 推广：

y?a?bx?,c(?d, ,fx,?,ab)cdefR② 练习：已知3x?2y?1，求x2?y2的最小值.

1211(x?y2)(32?22)?(3x?2y)2?. 131313 讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 教学不等式的证明：

11① 出示例2：若x,y?R?，x?y?2，求证：??2.

xy分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）

1111111212)?()]?… 要点：??(x?y)(?)?[(x)2?(y)2][(xy2xy2xy 讨论：其它证法（利用基本不等式）

11② 练习：已知a、b?R?，求证：(a?b)(?)?4.

ab3. 练习：

ab① 已知x,y,a,b?R?，且??1，则x?y的最小值.

xyab 要点：x?y?(?)(x?y)?…. → 其它证法

xy 解答要点：（凑配法）x2?y2?② 若x,y,z?R?，且x?y?z?1，求x2?y2?z2的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）

变式：若x,y,z?R?，且x?y?z?1，求x?y?z的最大值.

3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：

1. 练习：教材P37 8、9题 2. 作业：教材P37 1、6、7题 第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式

教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.

教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：

一、复习准备： 1. 练习：

2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？

答案：(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2；(a2?b2?c2)(d2?e2?f2)?(ad?be?cf)2

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二、讲授新课：

1. 教学一般形式的柯西不等式：

① 提问：由平面向量的柯西不等式|??|?|?||?|，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？

② 猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设a1,a2,,an,b1,b2,,bn?R，则 (a12?a22?an2)(b12?b22??bn2)?(a1b1?a2b2??anbn)2

aaa 讨论：什么时候取等号？（当且仅当1?2??n时取等号，假设bi?0）

b1b2bn22联想：设B?a1b1?ab2?2?anbn，A?a1?a2?an2，C?b12?b22??bn2，则有

B2?AC?0，可联想到一些什么？

③ 讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？ （注意分类）

2222fx）?（a12?a2?????an)x2?2(a1b1?a2b2?????anbn)x?(b12?b2?????bn) ，则 要点：令（f(x)?(a1x?b1)2?(a2x?b2)2????+（anx?bn)2?0.

又a12?a22?????an2?0，从而结合二次函数的图像可知，

???2(a1b1?a2b2??anbn)??4(a12?a22?④ 变式：a12?a22?2an2)(b12?b22??bn2)≤0

即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）

1an2?(a1?a2?????an)2. （讨论如何证明）

n2. 教学柯西不等式的应用：

① 出示例1：已知3x?2y?z?1，求x2?y2?z2的最小值.

分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：

111yz② 练习：若x,y,z?R?，且???1，求x??的最小值.

xyz23③ 出示例2：若a>b>c，求证： 要点：(a?c)(114. ??a?bb?ca?c1111?)?[(a?b)?(b?c)](?)?(1?1)2?4 a?bb?ca?bb?c3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明. 三、巩固练习：

1. 练习：教材P41 4题 2. 作业：教材P41 5、6题 第四课时 3.3 排序不等式

教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.

教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 教学过程：

一、复习准备：

1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）

2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：

1. 教学排序不等式： ① 看书：P42~P44.

② 提出排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:a1?a2?···?an;b1?b2?···?bn.c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,则有

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