内容发布更新时间 : 2024/5/4 17:04:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

习题2.1解答

1．现有10件产品，其中6件正品，4件次品。从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量X、Y如下：

;;?1,第1次抽到正品?1,第2次抽到正品 Y??

0,第1次抽到次品。0,第2次抽到次品。??试就下面两种情况求(X,Y)的联合概率分布和边缘概率分布。

X?? （1） 第1次抽取后放回； （2） 第1次抽取后不放回。 解 （1）依题知(X,Y)所有可能的取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1). 因为

P(X?0,Y?0)?P(X?0)?P(Y?0|X?0)11 C4C4　　　　　　　?1?1?4?4?4；C10C10101025P(X?0,Y?1)?P(X?0)?P(Y?1|X?0)11 C6C4664　　　　　　　?1?1???；C10C10101025P(X?1,Y?0)?P(X?1)?P(Y?0|X?1)11 C6C4　　　　　　　?1?1?6?4?6；C10C10101025P(X?1,Y?1)?P(X?1)?P(Y?1|X?1)11 C6C6　　　　　　　?1?1?6?6?9；C10C10101025所以(X,Y)的联合概率分布及关于X、Y边缘概率分布如下表为：

Y X 0 1 0 1 6 259 25pi? 10 2515 254 256 25p?j

10 2515 251

（2）类似于（1），可求得

P(X?0,Y?0)?P(X?0)?P(Y?0|X?0)11 C3C4342　　　　　　　?1?1???；C10C910915P(X?0,Y?1)?P(X?0)?P(Y?1|X?0)11 C6C4　　　　　　　?1?1?4?6?4；C10C910915P(X?1,Y?0)?P(X?1)?P(Y?0|X?1)11 C6C4　　　　　　　?1?1?6?4?4；C10C910915P(X?1,Y?1)?P(X?1)?P(Y?1|X?1)11 C6C5　　　　　　　?1?1?6?5?5；C10C910915所以(X,Y)的联合概率分布及关于X、Y边缘概率分布如下表为：

Y X 0 1 0 1 4 155 159 15pi? 6 159 152 154 156 15p?j

1 2. 已知10件产品中有5件一级品，2件废品。现从这批产品中任意抽取3件，记其中的一级品数与废品数分别为X、Y，求(X,Y)的联合概率分布和边缘概率分布。

解 依题知X、Y所有可能的取值分别为0,1,2,3及0,1,2，故

31C3C32?C211； P(X?0,Y?1)? P(X?0,Y?0)?3?；?312020C10C10121C3?C2C5?C3211 P(X?0,Y?2)? P(X?1,Y?0)? ?；?；33408C10C10

12C?C?CC5?C211； P(X?1,Y?2)? P(X?1,Y?1)??；?3424CC1021C?CC?C P(X?2,Y?1)?532?1； P(X?2,Y?0)??1；46CC103C5 P(X?3,Y?0)?3?1； P(X?2,Y?2)?0；12C10 P(X?3,Y?1)?0； P(X?3,Y?2)?0；

所以(X,Y)的联合概率分布及关于X、Y边缘概率分布如下表为：

1511233102153310

Y X 0 1 2 3 0 1 2 1 401 24pi? 1 125 125 121 12p?j 1 1201 81 4112 715 1 201 41 60 0 0 1 15715 1 3. 已知随机变量X、Y的概率分布分别为

Y 0 1 X -1 0 1

1 1 1 P 1P 144222

且P(X?Y?0)?1，求

（1）X和Y的联合概率分布； （2）P(X?Y).

解 （1）因为 所以

(X?Y?0)?(X??1,Y?0)?(X?1,Y?0)

　　　　　　?(X?0,Y?0)?(X?0,Y?1)P(X?Y?0)?P(X??1,Y?0)?P(X?1,Y?0) 　　　　　　?P(X?0,Y?0)?P(X?0,Y?1)

　　　　　＝p11?p31?p21?p22?1