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广东省中山一中等七校2015届 高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
x
1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|2＞1}，B={x|﹣4＜x＜1}，则A∩B等于（） A． （0，1） B． （1，+∞） C． （﹣4，1） D． （﹣∞，﹣4） 2．（5分）已知i为虚数单位，复数z=i（2﹣i）的模|z|=（） A． 1 B． C． D． 3 3．（5分）在等差数列{an}中，已知a1+a7=10，则a3+a5=（） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
4．（5分）、是两个非零向量，
＞0是与的夹角＜
＞为锐角的（）条件
A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分又不必要条件 5．（5分）如图是某体育比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）
A． 5和1.6 B． 85和1.6 C． 85和0.4 D． 5和0.4 6．（5分）如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有（） A． α⊥γ且l⊥m B． α⊥γ且m∥β C． m∥β且l⊥m D． α∥β且α⊥γ 7．（5分）如图所示，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰梯形，等腰直角三角形和长方形，则该几何体体积为（）
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A． B． C． D．
8．（5分）定义一种运算符号“?”，两个实数a，b的“a?b”运算原理如图所示，若输人a=2cos
，b=2，则输出P=（）
A． ﹣2 B． 0 C． 2 D． 4 9．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB
2
的长，则该矩形面积大于20cm的概率为（） A．
B．
C．
D．
10．（5分）如图，P（x0，f（x0））是函数y=f（x）图象上一点，曲线y=f（x）在点P处的切线交x轴于点A，PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB的面积为，则 f′（x0）与f（x0）满足关系式（）
2
A． f′（x0）=f（x0） B． f′（x0）=[f（x0）] C． f′（x0）=﹣f（x0）
2
D． [f′（x0）]=f（x0）
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共20分，其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第14小题计分． 11．（5分）已知函数f（x）=
，则f[f（）]的值是．
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12．（5分）若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则
实数k的取值范围是．
13．（5分）已知cosα=，cos（α﹣β）=
【坐标系与参数方程】
14．（5分）在极坐标系中，圆ρ=4cosθ的圆心到直线θ=
（θ∈R）的距离是．
，且0
，则cosβ=．
【几何证明选讲】
15．如图，点B在⊙O上，M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，∠BNA=45°，若⊙O的半径为2，OA=OM，则MN的长为．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）已知向量=（
sinx，cisx），=（cosx，cosx），设函数f（x）=?．
（Ⅰ）求函数f（x）单调增区间； （Ⅱ）若x∈[﹣
，
]，求函数f（x）的最值，并指出f（x）取得最值时x的取值．
17．（12分）某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关的数据如下表： 节能意识弱 节能意识强总计 20至50岁45 9 54 大于50岁 10 36 46 总计 55 45 100
（1）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？
（2）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？
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（3）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率． 18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB=2，∠BAD=60°． （1）求证：OM∥平面PAB；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC； （3）当四棱锥P﹣ABCD的体积等于
时，求PB的长．
19．（14分）已知等差数列{an}的公差为﹣1，且a2+a7+a12=﹣6， （1）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；
（2）将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，
**
记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N，使对任意n∈N总有Sn＜Tm+λ恒成立，求实数λ的取值范围．
2
20．（14分）已知抛物线y=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x交于点C．
（1）求证：|MA|，|MC|、|MB|成等比数列； （2）设
，
，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说
明理由．
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21．（14分）设函数f（x）=ax（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x﹣y﹣3=0距离的最小值为，求a的值；
2
（2）关于x的不等式（x﹣1）＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围； （3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设
，
b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
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广东省中山一中等七校2015届高考数学模拟试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
x
1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|2＞1}，B={x|﹣4＜x＜1}，则A∩B等于（） A． （0，1） B． （1，+∞） C． （﹣4，1） D． （﹣∞，﹣4）
考点： 交集及其运算． 专题： 集合．
分析： 求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
解答： 解：由A中的不等式变形得：2x＞1=20
， 解得：x＞0，即A=（0，+∞）， ∵B=（﹣4，1）， ∴A∩B=（0，1）． 故选：A．
点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2．（5分）已知i为虚数单位，复数z=i（2﹣i）的模|z|=（） A． 1 B． C． D． 3
考点： 复数求模．
专题： 数系的扩充和复数．
分析： 根据复数的有关概念直接进行计算即可得到结论． 解答： 解：∵z=i（2﹣i）=2i+1， ∴|z|=
，
故选：C．
点评： 本题主要考查复数的有关概念的计算，比较基础． 3．（5分）在等差数列{an}中，已知a1+a7=10，则a3+a5=（） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
考点： 等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： 在等差数列{an}中，由a1+a7=10，能求出a3+a5的值． 解答： 解：在等差数列{an}中， ∵a1+a7=10，
∴a3+a5=a1+2d+a1+4d =a1+（a1+6d） =a1+a7=10． 故选：D．
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