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2017-2018学年江苏省常州市前黄高中高二（上）期末数学试卷（理

科）

最新试卷十年寒窗苦，踏上高考路，心态放平和，信心要十足，面对考试卷，下笔如有神，短信送祝福，愿你能高中，马到功自成，金榜定题名。

一、填空题（每小题5分，共70分）

1．命题“?x∈R，x2+2＞0”的否定是______命题．（填“真”或“假”之一） 2．已知复数z满足（i为虚数单位），则|z|=______． 3．2， …5这5个自然数中任意抽取2个数，从1，抽到“至少有1个数是偶数”的概率为______．4．抛物线x2=﹣8y的焦点坐标为______．

5．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的______条件．（填充分不必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要） 6．已知双曲线x2﹣

=1（m＞0）的一条渐近线方程为x+

y=0，则m=______．

7．已知函数f（x）=x2﹣2xf′（﹣1），则f′（1）=______． 8．已知F是椭圆

+

=1A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴．（a＞b＞0）的左焦点，若

|PF|=|AF|，则该椭圆的离心率是______． 9．若函数f（x）=lnx+ax2﹣（a+2）x在

处取得极大值，则正数a的取值范围是______．

10．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件： ①f（x）=ax?g（x）（a＞0，a≠1）； ②g（x）≠0；

③f（x）?g'（x）＞f'（x）?g（x）； 若

，则a=______．

11．已知函数f（x）=ex﹣1+x﹣2（e为自然对数的底数）．g（x）=x2﹣ax﹣a+3．若存在实数x1，x2，使得f（x1）=g（x2）=0．且|x1﹣x2|≤1，则实数a的取值范围是______． 12．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=a，CD=b（a＞b）．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m：n，则可推算出：

．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在

上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD，BC相交于O点，设△OAB，△OCD的面积分别为S1，S2，EF∥AB且EF到CD与AB的距离之比为m：n，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是______．

13．设函数f（x）=|ex﹣e2a|，若f（x）在区间（﹣1，3﹣a）内的图象上存在两点，在这两点处的切线互相垂直，则实数a的取值范围是______． 14．已知A为椭圆

的上顶点，B，C为该椭圆上的另外两点，且△ABC是

以A为直角顶点的等腰直角三角形．若满足条件的△ABC只有一解，则椭圆的离心率的取值范围是______．

二、解答题（共90分．请在答题纸上写出详细的解题过程） 15．已知命题p：函数

在（﹣∞，+∞）上有极值，命题q：双曲

线围．

的离心率e∈（1，2）．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范

16．已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为

（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；

（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABCD，SA=2，M为SA的中点．

（1）求异面直线AB与MD所成角的大小； （2）求直线AS与平面SCD所成角的正弦值；

（3）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．

．

底面

18．如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为xm（x不小于9）的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为

m的圆形草地． 为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均小于10m．

取1.4）

元/m2，其余区域的造价为

元

（1）求x的取值范围；（运算中

（2）若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？

19．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），离心率为，过F作两条互相垂

直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．

（1）求椭圆的方程；

（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；

（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值．

20．已知函数f（x）=cosx+ax2﹣1，a∈R． （1）当a=0时，求函数f（x）在

处的切线方程；

（2）当a=1时，求函数f（x）在[﹣π，π]上的最大值和最小值； （3）若对于任意的实数x恒有f（x）≥0，求实数a的取值范围．