内容发布更新时间 : 2024/9/20 0:34:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

293 切线的性质和判定

1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明(重点)；

2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明(重点，难点)；

3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．

一、情境导入

约在6000年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘，你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗？

二、合作探究 探究点一：切线的性质 【类型一】 切线的性质的运用 如图，点O是∠BA的边A上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO

相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD＝35°，则∠BA的度数为( )

A．20° B．35° ．55° D．70°

解析：连接OD，∵⊙O与边AB相切于点D，∴OD⊥AD，∴∠ADO＝90°∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°，∴∠BA＝90°－∠EOD＝20°故选A

方法总结：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．解题时要注意运用切线的性质，注意掌握辅助线的作法，灵活运用数形结合思想．

【类型二】 利用切线的性质进行证明和计算

如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、两点，∠P＝30°，

连接AO、AB、A

(1)求证：△AB≌△APO；

1

(2)若AP＝3，求⊙O的半径．

(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，∴∠OAP＝90°又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°又∵B为⊙O的直径，∴∠BA＝90°在△AB和△APO中，∠BA＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，∴△AB≌△APO；

(2)解：在Rt△AOP中，∠P＝30°，AP＝3，∴AO＝1，即⊙O的半径为1 方法总结：运用切线进行证明和计算时，一般连接切点与圆心，根据切线的性质转化已知条件，构造出等量关系求解．

【类型三】 探究圆的切线的条件 如图，⊙O是△AB的外接圆，AB＝A＝10，B＝12，P是(B

过点P作B的平行线交AB的延长线于点D

(1)当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；

(2)当DP为⊙O的切线时，求线段BP的长．

︵︵︵

解析：(1)当点P是(B)的中点时，得(PBA)＝(PA)，得出PA是⊙O的直径，再利用DP∥B，得出DP⊥PA，问题得证；(2)利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出AB的长，在Rt△ABP中再次利用勾股定理即可求出BP的长．

︵︵

解：(1)当点P是(B)的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：∵AB＝A，∴(AB)︵︵︵︵︵︵＝(A)，又∵(PB)＝(P)，∴(PBA)＝(PA)，∴PA是⊙O的直径．∵(PB)＝︵

(P)，∴∠1＝∠2，又∵AB＝A，∴PA⊥B又∵DP∥B，∴DP⊥PA，∴DP是⊙O的切线．

(2)连接OB，设PA交B于点E由垂径定理，得BE＝错误!B＝6在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE＝AB2－BE2＝8设⊙O的半径为r，则OE＝8－r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得r2＝62＋(8－r)2，解得r＝错误!在Rt△ABP中，AP＝2r＝错误!，AB＝10，∴BP＝错误!＝错误!

方法总结：判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手，结合垂径定理与勾股定理，合理转化已知条件，得出结论．

探究点二：切线的判定 【类型一】 判定圆的切线

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点在⊙O上，A＝D，∠D＝30°，

2

︵

)上的一个动点，

求证：D是⊙O的切线．

证明：连接O，∵A＝D，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°∵OA＝O，∴∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°，∴∠OD＝90°，∴O⊥D，∴D是⊙O的切线．

方法总结：切线的判定方法有三种：①利用切线的定义，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线；③经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【类型二】 切线的性质与判定的综合应用

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如图，AB是⊙O的直径，点F、是⊙O上的两点，且(AF)＝(F)＝(B)，

连接A、AF，过点作D⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D

(1)求证：D是⊙O的切线； (2)若D＝23，求⊙O的半径．

分析：(1)连接O，由弧相等得到相等的圆周角，根据等角的余角相等推得∠AD＝∠B，

︵︵

再根据等量代换得到∠AO＋∠AD＝90°，从而证明D是⊙O的切线；(2)由(AF)＝(F)

︵

＝(B)推得∠DA＝∠BA＝30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长，进而求得⊙O的半径．

︵︵

(1)证明：连接O，B∵(F)＝(B)，∴∠DA＝∠BA∵D⊥AF，∴∠AD＝90°∵AB是直径，∴∠AB＝90°∴∠AD＝∠B∵BO＝O，∴∠OB＝∠OB，∵∠AO＋∠OB＝90°，∠OB＝∠OB，∠AD＝∠AB，∴∠AO＋∠AD＝90°，即O⊥D又∵O是⊙O的半径，∴D是⊙O的切线；

︵︵︵

(2)解：∵(AF)＝(F)＝(B)，∴∠DA＝∠BA＝30°∵D⊥AF，D＝23，∴A＝43在Rt△AB中，∠BA＝30°，A＝43，∴B＝4，AB＝8，∴⊙O的半径为4

方法总结：若证明切线时有交点，需“连半径，证垂直”然后利用切线的性质构造直角三角形，在解直角三角形时常运用勾股定理求边长．

三、板书设计 1．切线的性质

圆的切线垂直于经过切点的半径． 2．切线的判定

经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

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