内容发布更新时间 : 2024/5/22 8:32:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

17．1 勾股定理

一、教学目的

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点

1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析

例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入

目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

222222222222

你是否发现3+4与5的关系，5+12和13的关系，即3+4=5，5+12=13，那么就有222

勾+股=弦。

CD对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析

例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

222

求证：a＋b=c。

a分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，b让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

cAB⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正 4×

122

ab＋（b－a）=c，化简可证。 2⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。

⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。

1

求证：a＋b=c。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

222

baccaaabca12

左边S=4×ab＋c

2右边S=（a+b）

左边和右边面积相等，即 4×

2

bbccaabbcb122

ab＋c=（a+b） 2ab化简可证。 六、课堂练习 1．勾股定理的具体内容是： 。 2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）

A⑴两锐角之间的关系： ；

⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ；

D⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。

222

3．△ABC的三边a、b、c，若满足b= a＋c，则 =90°； 若

C222222

满足b＞c＋a，则∠B是 角； 若满足b＜c＋a，则∠B是 ADa角。

4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。 bc七、课后练习

E1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

ca⑴c= 。（已知a、b，求c）

B⑵a= 。（已知b、c，求a） Cb⑶b= 。（已知a、c，求b）

2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、5 5、12、13 7、24、25 9、40、41 …… 19，b、c 3+4=5 5+12=13 7+24=25 9+40=41 …… 19+b=c 222222222222222B3．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=103cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。

4．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。

22

求证：⑴AD－AB=BD·CD

⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。

八、参考答案

课堂练习 1．略；

DBAC2

2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=3．∠B，钝角，锐角；

11222

AB；⑶AC=AB；⑷AC+BC=AB。 2212

（a+b）， 24．提示：因为S梯形ABCD = S△ABE+ S△BCE+ S△EDA，又因为S梯形ACDG=S△BCE= S△EDA=课后练习

1．⑴c=b2?a2；⑵a=b2?c2；⑶b=c2?a2

11211122

ab，S△ABE=c, （a+b）=2× ab＋c。 22222?a2?b2?c2a2?1a2?12．? ；则b=，c=；当a=19时，b=180，c=181。

22?c?b?13．5秒或10秒。

4．提示：过A作AE⊥BC于E。 课后反思：

17．1 勾股定理（二）

教案总序号：11 时间： 一、教学目的

1．会用勾股定理进行简单的计算。

2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 二、重点、难点

1．重点：勾股定理的简单计算。 2．难点：勾股定理的灵活运用。 三、例题的意图分析

例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。

例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。 四、课堂引入

复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 五、例习题分析

例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90°

⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。 ⑶已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。 ⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

3

分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。

例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三 C 边。

分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。

例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。

B A D ⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S△ABC。

分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高CD，可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=

1AB=3cm，则此题可解。 2六、课堂练习 1．填空题

⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。 ⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。 ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。 ⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，面积为 。 A2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=43，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长。 3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。 C七、课后练习 1．填空题

在Rt△ABC，∠C=90°，

⑴如果a=7，c=25，则b= 。 ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。 ⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。 ⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。

⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。 ⑹如果b=8，a：c=3：5，则c= 。

2．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC， AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

B八、参考答案

DBADC4

课堂练习

1．17； 7； 6，8； 6，8，10； 4或34； 3，3； 2．8； 3．48。 课后练习

1．24； 43； 32； 6； 12； 10； 2．课后反思：

17．1 勾股定理（三）

教案总序号：12 时间： 一、教学目的

1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点

1．重点：勾股定理的应用。

2．难点：实际问题向数学问题的转化。 三、例题的意图分析

例1（教材探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。

例2（教材探究2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形

DC三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。

四、课堂引入

勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。 五、例习题分析

AB例1（教材探究1） 分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。

例2（教材探究2）

分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。 A⑵ 在△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。

C则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。

⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算

DOBBD。

六、课堂练习

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