内容发布更新时间 : 2024/5/29 13:51:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第3章 力学基本定律与守恒律 习题答案
??1．作用在质量为10 kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s，(1)求4s后，这物体的
动量和速度的变化．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来
?-1
静止的物体和一个具有初速度?6jm·s的物体,回答这两个问题． 解: (1)若物体原来静止，则
??t?4??1?p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?si,沿x轴正向，
00???p1??1?v1??5.6m?si m????1I1??p1?56kg?m?si若物体原来具有?6m?s?1初速，则
????p0??mv0,p?m(?v0?t??Fm0?dt)??mv0??t0?Fdt于是
????p2?p?p0??t0??Fdt??p1,
????同理， ?v2??v1,I2?I1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理． (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即
I?2?t0(10?2t)dt?10t?t
2亦即 t?10t?200?0 解得t?10s，(t??20s舍去)
?12．一颗子弹由枪口射出时速率为v0m?s，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量． 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
F?(a?bt)?0,得t?ab
(2)子弹所受的冲量
I??t0(a?bt)dt?at?12bt2
1
将t?ab代入，得 a2I?2b
(3)由动量定理可求得子弹的质量
m?Iv0?a22bv0
3．如图所示，一质量为m的球，在质量为M半径为R的1/4圆弧形滑槽中从静止滑下。圆弧形滑槽放在光滑水平面上，初始时刻也处于静止状态。求当小球m滑到槽底脱离槽时的速度。 解: m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有
mgR?12mv2?12MV2
又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统则在m脱离M瞬间，水平方向有
mv?MV?0
联立以上两式，得
v?2MgR?m?M?
4．如图所示，质量为M＝1.5 kg的物体，用一根长为l＝1.25 m的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m＝10 g的子弹以v0＝500 m/s的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s，设穿透时间极短．求：
(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．
解 （1） 由于穿透时间极短,可认为穿透过程在瞬间完成。此过 l 程系统在水平方向满足动量守恒。
?m v mv0?MVM 对M进行受力分析有
V?m(v0?v)?10?10(500?30)1.53.132?3?3.13m/s
?v0 ?v m M T?Mg?MV2l1.25(2) 子弹在穿透过程中所受的冲量：
?3?1.5?9.8?1.5??26.5N
I??p?mv?mv0?10?10(30?500)??4.7Ns
?上式中负号表示冲量方向与v0方向相反。
5．质量为1 kg的物体，它与水平桌面间的摩擦系数? = 0.1 ．现对物体施以F = 10t+10 (SI)的力，（t表示时刻），力的方向保持一定，如图所示．如t = 0时物体静止，则t = 3 s时 它的速度大小v 为多少?(取重力加速度g?10ms
解:对物体在水平方向应用动量定理
2
?2)
30°F
3 ?(Fcos300??(mg?Fsin300)dt?mv?0
0由于m?1kg，F = 10t+10，故有
3 v??[(10t?10)cos300??(mg?(10t?10)sin300]dt
033030??[(10t?10)cos30dt?0??mgdt???(10t?10)sin30dt00 ?32?(5?9?10?3)?0.1?1?10?3?0.1?0.5?(5?9?10?3)
?64.95?3?3.75?58.2m/s6．静水中停着两条质量均为M的小船，当第一条船中的一个质量为m的人以水平速度v（相对于地面）跳上第二条船后，两船运动的速度各多大？（忽略水对船的阻力）．
解:该过程满足水平方向的动量守恒：
对第一条船： 0?mv?MV1 V1??mMv
上式中负号表示对第一条船运动方向与v方向相反； 对第二条船： mv?(m?M)V2 V2?mvm?M?
7．一质量为m的质点在Oxy平面上运动，其位置矢量为 r?aco?sit?b?sinj(SI) t式中a、b、?是正值常量，且a＞b． (1)求质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能；
(2)求质点所受的合外力F以及当质点从A点运动到B点的过程中F的分力Fx和Fy分别作的功．
解: (1)质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的动能 由题意：r?acos?ti?bsin?tj?xi?yj v?2?drdt??a?si?ni?t?b?cosj??t2a?bi?b?yj ax v(x,y)? 所以 EA(a,0)?a?b12222y?a?b222b?a2222x
m(?0?2b?a222a)?212m?b
22 3
EA(0,b)?12ba2 (2) 质点所受的合外力F
??dv22 a???a?cos?ti?b?sin?tj
dt??2222 F?ma??ma?cos?ti?mb?sin?tj??m?xi?m?yj?Fxi?Fyj
m(a?222?b?2b?222?0)?2122m?a
当质点从A点运动到B点的过程中F的分力Fx分别作的功
0a0a2当质点从A点运动到B点的过程中F的分力Fy分别作的功
b0b0?Fxdx???m?xdx?21m?a
2228．一人从10 m深的井中提水．起始时桶中装有10 kg的水，桶的质量为1 kg，由于水桶漏水，每升高1 m要漏去0.2 kg的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．
?Fydy??m?ydy?21m?b
22解:设桶的质量为m0，起始时桶中装满水的质量为M0，以起始点为坐标原点，坐标轴方向竖直向上，则水桶匀速地从井中提到井口过程的任意位置，人的拉力为 F(x)?(M0?0.2x)g?mg
10100所以 A??F(x)dx??[(M00?0.2x)g?mg]dx
?(M0?m)g(10?0)?0.2g?1022?980J
69一个质点在几个力同时作用下位移为?r?4i?5j?kF??3i?4j?k5?SI?，求此力在该位移过程中所作的功。
?SI?，其中一个力为
解:此为恒力做功，故有
A?F??r?(?3i?4j?5k)(4i?5j?6k)??12?20?30?38J
10 设F合?7i?6jN．(1) 当一质点从原点运动到r??3i?4j?16km时，求F所作的功．(2)如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化． 解: (1) A?(7i?6j)[(?3i?4j?16k)?0]??21?24??45J
(2) 如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率： P??P?t??450.6??75W
(3)由动能定理，质点动能的变化为： ?Ek?A??45J
4
11．如图所示，一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为k2的轻弹簧B，B的下端一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比．
解: 弹簧A、B及重物C受力如题5图所示平衡时，有
FA?FB?Mg
又 FA?k1?x1
FB?k2?x2
所以静止时两弹簧伸长量之比为
?x1?x2?k2k1
弹性势能之比为
1Ep1Ep2?21k1?x12?k2?x22k2k1
22
12．某弹簧不遵守胡克定律. 设施力F，相应伸长为x，力与伸长的关系为 F＝52.8x＋38.4x（SI）求：
(1)将弹簧从伸长x1＝0.50 m拉伸到伸长x2＝1.00 m时，外力所需做的功．
(2)将弹簧横放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一个质量为2.17 kg的物体，然后将弹簧拉伸到一定伸长x2＝1.00 m，再将物体由静止释放，求当弹簧回到x1＝0.50 m时，物体的速率．
(3)此弹簧的弹力是保守力吗？
1解:（1）A??(52.8x?38.4x0.50.52)dx?(26.4x?238.431x)0.53?31J
(2) 由动能定理 A??1(52.8x?38.4x)(?dx)?212mv?0
2?5.34m/s
m2.17(3) 此弹簧的弹力做功与路径无关，故是保守力。
13．如图所示，质量m为 0.1 kg的木块，在一水平面上和一个劲度系数k为20 N/m的轻弹簧碰
所以 v?2A?2?31撞，木块将弹簧由原长压缩了x = 0.4 m．假设木块与水平面间的滑动摩擦系数? k为0.25，问在将要发生碰撞时木块的速率v为多少？
解:在该过程中，物体受力的方向与位移的方向相反，故力做负功。由动能定理:
0.4 ??0(kx?0.25mg)dx?0?12mv
2 k m 5