内容发布更新时间 : 2025/1/7 12:22:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第4节 导数与函数的零点
考试要求 能利用导数解决函数的零点、方程的根、曲线的交点等问题.
知 识 梳 理
函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根的情况求参数的取值范围. [常用结论与易错提醒] (1)注意构造函数；
(2)注意转化思想、数形结合思想的应用.
基 础 自 测
x＋3x，x≤0，
1.若函数f()＝?
??1在其定义域上只有一个零点，则实数3
x3
－4x＋aa的取值范围是( 3，x>0
A.(16，＋∞) B.[16，＋∞) C.(－∞，16)
D.(－∞，16]
解析 ①当≤0时，f()＝＋3，
∵y＝与y＝3在(－∞，0)上都单调递增，
∴f()＝＋3在(－∞，0)上也单调递增，又f(－1)<0，f(0)>0， ∴f()在(－1，0)内有一个零点. ②当>0时，f()＝133－4＋a3
，
f′()＝2－4＝(＋2)(－2).
令f′()＝0得＝2或＝－2(舍)， 当∈(0，2)时，f′()<0，f()递减， 当∈(2，＋∞)时，f′()>0，f()递增， 时，f()＝23∴在>0a最小＝f()极小3－8＋3，
要使f()在(0，＋∞)上无零点，需23a3－8＋3>0，
∴a>16.
)
答案 A
1
2.(2019·杭州质检)已知函数f()＝2＋e－(<0)与g()＝2＋ln(＋a)的图象上存在关于y轴对称
2的点，则a的取值范围是( ) 1??
A.?－∞，?
e??
B.(－∞，e) 1??
－e，D.??
e??
?1?
C.?－，e?
e??
解析 设点P(0，y0)(0<0)在函数f()上，由题意可知，点P关于y轴的对称点P′(－0，y0)
?y＝x＋e－1，
2在函数g()上，所以?消y可得
?y＝（－x）＋ln（－x＋a），
0
20
x0
0
00
2
0
20
1
＋e－＝(－0)2＋ln(－0＋a)，
2
0
1
即e 0－ln(a－0)－＝0(0<0)，
21
所以e 0－＝ln(a－0)(0<0).
2
1
令m()＝e－(<0)，n()＝ln(a－)(<0)，
2
它们的图象如图，
?1?
当n()＝ln(a－)过点?0，?时，
?2?
解得a＝e，由图可知，当a 2x＋2 3.(2019·金丽衢十二校三联)对于函数f()＝ln －，g()＝0＋－4，若存在实数α，β，使得 2＋2 f(α)＝0，g(α＋sin β)＝0，则实数的取值范围为( ) ?1?A.?0，? ?e? C.? ?1?B.?1，? ?e??ln 3?D.?0，? 3?? ?ln 31?，? 3e?? 解析 结合选项及g()的零点可知≥0，当＝0时，易知符合题意；当>0时，由题意得f′()111?1??1? 0，＝－，令f′()＝－＝0得＝，易得函数f()在??上单调递增，在?，＋∞?上单调递 xxk? k??k? 1?1??1? 减，则函数f()的最大值为f??＝ln －1，令f??＝ k?k??k? 111 ln －1＝0得＝，则易得当0<≤时函数f()存在零点，则由图易得存在函数f()的零点αkee2x＋222＋2 ∈(0，e].又因为函数g()＝0＋－4在R上为增函数，且g(2)＝0＋2－4＝0，所以α＋ 2＋22＋2 ?1?sin β＝2，α＝2－sin β∈[1，3]，又因为α∈(0，e]，所以α∈[1，e]，则由图易得∈?0，?， ?e? 故选A. 答案 A 4.(2018·江苏卷)若函数f()＝23－a2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f()在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________. 解析 f′()＝62－2a＝2(3－a)(a∈R)，当a≤0时，f′()>0在(0，＋∞)上恒成立，则f()在(0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝1，所以此时f()在(0，＋∞)内无零点，不满足题意.当a>0时，由f′()>0得>，由f′()<0得0<<，则f()在?0，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增， 33?3??3? aa? a??a? a3?a? 又f()在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f??＝－＋1＝0，得a＝3，所以f()＝23－32 27?3? ＋1，则f′()＝6(－1)，当∈(－1，0)时，f′()>0，f()单调递增，当∈(0，1)时，f′()<0，f()单调递减，则f()ma＝f(0)＝1，f(－1)＝－4，f(1)＝0，则f()min＝－4，所以f()在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3. 答案 －3 1 ?ln x＋，x>1，?x5.已知函数f()＝?若g()＝f()－m有三个零点，则实数m的取值范 m5 ??2x－mx－2＋8，x≤1， 2