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专题10 牛顿运动定律的应用之光滑斜面模型和等时圆模型

重难讲练

模型一 光滑斜面模型

如图所示，质量为m的物体从倾角为θ、高度为h的光滑斜面顶端由静止下滑，则有如下规律：

(1)物体从斜面顶端滑到底端所用的时间t，由斜面的倾角θ与斜面的高度h共同决定，与物体的质量无关。 1关系式为t＝ sin θ

2hg。

(2)物体滑到斜面底端时的速度大小只由斜面的高度h决定，与斜面的倾角θ、斜面的长度、物体的质量无关。

关系式为v＝2gh。

【典例1】如图所示，一物体分别从高度相同、倾角不同的三个光滑斜面顶端由静止开始下滑。下列说法正确的是( )

A. 滑到底端时的速度相同 B. 滑到底端所用的时间相同

C. 在倾角为30°的斜面上滑行的时间最短 D. 在倾角为60°的斜面上滑行的时间最短 【答案】 D

【解析】 由规律(2)可知物体从高度相同的斜面滑到底端时的速度大小相同，但方向不同，选项A错误；由规律(1)可知物体在倾角θ＝60°的斜面上滑行时间最短，选项D正确。 【跟踪训练】

1. 一间新房即将建成，现要封顶，若要求下雨时落至房顶的雨滴能最快地淌离房顶(假设雨滴沿房顶下淌时做无初速度、无摩擦的运动)，则必须要设计好房顶的高度，下列四种情况中最符合要求的是( )

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【解析】 如图，设房顶宽为2b，高度为h，斜面倾角为θ。

2. 如图所示，一倾角为θ＝37°的足够长的斜面固定在水平地面上。当t＝0时，滑块以初速度v0＝10 m/s沿斜面向上运动，已知滑块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是( )

2

A.滑块上滑的距离小于5 m

B.t＝1 s时，滑块速度减为零，然后静止在斜面上 C.t＝2 s时，滑块恰好又回到出发点 D.t＝3 s时，滑块的速度大小为4 m/s 【答案】 D

【解析】 设滑块上滑时的加速度大小为a1，由牛顿第二定律可得mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1，解得a1＝

v012

10 m/s，上滑时间为t1＝＝1 s，上滑的距离为x1＝v0t1＝5 m，因mgsin θ>μmgcos θ，滑块上滑到速

a12

度为零后，向下运动，选项A、B错误；设滑块下滑时的加速度大小为a2，由牛顿第二定律可得mgsin θ－122

μmgcos θ＝ma2，解得a2＝2 m/s，经1 s，滑块下滑的距离为x2＝a2t2＝1 m<5 m，滑块未回到出发点，

2选项C错误；t＝3 s时，滑块沿斜面向下运动，此时的速度v＝a2(t－t1)＝4 m/s，选项D正确。 模型二 等时圆模型 1. 模型特征

(1)质点从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等，如图甲所示。 (2)质点从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。 精品K12教育教学资料

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(3)两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图丙所示。

2.思维模板

【典例2】如图所示，位于竖直平面内的圆周与水平面相切于M点，与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点

B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心。已知在同一时刻，甲、乙两球分别从A、B两

点由静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点。丙球由C点自由下落到M点。则( )

A.甲球最先到达M点 C.丙球最先到达M点 【答案】 C

【解析】 设圆轨道的半径为R，根据等时圆模型有t乙>t甲，t甲＝2所以有t乙>t甲>t丙，选项C正确。 【跟踪训练】

1. 如图所示，固定支架ACB，AC竖直，AB为光滑钢丝，AC＝BC＝l，一穿在钢丝中的小球从A点静止出发，精品K12教育教学资料

B.乙球最先到达M点 D.三个球同时到达M点

R；丙做自由落体运动，有t丙＝g2R，g