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三、解答题

1．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9分.

已知椭圆C的两个焦点分别为F1(?1， 0)、F2(1， 0),短轴的两个端点分别为B1、 B2 (1)若?F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;

(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P、,求直线l的方程. Q两点,且F1P?FQ1

x2y2【答案】[解](1)设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0).

ab?a?2b4212根据题意知?2, 解得,b? a?233?a?b?1x2y2??1. 故椭圆C的方程为4133x2?y2?1. (2)容易求得椭圆C的方程为2当直线l的斜率不存在时,其方程为x?1,不符合题意;

Word 资料

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当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y?k(x?1).

?y?k(x?1)?2222由?x2 得(2k?1)x?4kx?2(k?1)?0. 2??y?1?2设P(x1， y1)， Q(x2， y2),则

4k22(k2?1)x1?x2?2， x1x2?， F1P?(x1?1， y1)， FQ?(x2?1， y2) 122k?12k?1?0,即 因为F1P?FQ,所以F1P?FQ11(x1?1)(x2?1)?y1y2?x1x2?(x1?x2)?1?k2(x1?1)(x2?1) ?(k2?1)x1x2?(k2?1)(x1?x2)?k2?1

7k2?1?2?0, 2k?1解得k2?71,即k??.

77故直线l的方程为x?7y?1?0或x?7y?1?0.

x2y22．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C:2?2?1,(a?b?0)的两个焦点分别为F1(?1,0),F2(1,0),且椭圆

ab41C经过点P(,).

33(Ⅰ)求椭圆C的离心率;

(Ⅱ)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点,点Q是线段MN上的点,且求点Q的轨迹方程.

211,??222|AQ||AM||AN|?4??1??4??1?【答案】解:2a?PF1?PF2???1???????1?????22

?3??3??3??3?Word 资料

2222 .

所以,a?2.

又由已知,c?1, 所以椭圆C的离心率e?c12 ??a22x2????由???知椭圆C的方程为?y2?1.

2设点Q的坐标为(x,y).

(1)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于?0,1?,?0,?1?两点,此时Q点坐标为?0,2?(2) 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y?kx?2.

因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1?2),(x2,kx2?2),则

???35? ??5?AM?(1?k2)x12,AN?(1?k2)x22. 又AQ?x2??y?2??(1?k2)x2.

由

22222AQ2?1AM2?1AN2,得

211,即 ??222222?1?k?x?1?k?x1?1?k?x2211?x1?x2??2x1x2??? ① 22222xx1x2x1x2x2将y?kx?2代入?y2?1中,得

22?2k2?1?x2?8kx?6?0 ②

2由???8k??4?2k?1?6?0,得k2?2??3. 28k6,xx?, 122k2?12k2?118代入①中并化简,得x2? ③ 210k?3y?222因为点Q在直线y?kx?2上,所以k?,代入③中并化简,得10?y?2??3x?18.

x由②可知x1?x2??由③及k2??336??6?,可知0?x2?,即x???. ,00,???????22?2??2?Word 资料