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y l1 D O P A （第21题图）
l2 B x
x2【答案】解:(Ⅰ)由已知得到b?1,且2a?4?a?2,所以椭圆的方程是?y2?1;
46．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如题(21)图,椭圆的中心为原点O,长轴
在x轴上,离心率e?2,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A?两点,AA??4. 2(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P?,过P,P?作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ?P?Q,求圆Q的标准方程.
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x2y2?1的焦点在x轴上 7．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题）设椭圆E:2?a1?a2(Ⅰ)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;(Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点,直线F2P交y轴与点Q,并且F1P?FQ,证明:当a变化时,点p在某定直线上 1Word 资料
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58x28x2【答案】解: (Ⅰ)?a?1?a,2c?1,a?1?a?c?a?，椭圆方程为：??1.
853222222(Ⅱ) 设F1(?c,0),F2(c,0),P(x,y),Q(0,m),则F2P?（x?c,y),QF2?(c,?m). 由1?a2?0?a?(0,1)?x?(0,1),y?(0,1).
?m(c?x)?yc F1P?(x?c,y),F1Q?(c,m).由F2P//QF2,F1P?F1Q得：?c(x?c)?my?0??x2y2?1?2?2a1?a??2222?(x?c)(x?c)?y?x?y?c.联立?x2?y2?c2解得
?a2?1?a2?c2???2x22y222?2??1?x?(y?1).?x?(0,1),y?(0,1)?x?1?y 222x?y?11?x?y所以动点P过定直线x?y?1?0.
已知圆M:(x?1)?y?1,圆N:(x?1)?y?9,动圆P与M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
【答案】由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1,圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
(Ⅰ)∵圆P与圆M外切且与圆N内切,∴|PM|+|PN|=(R?r1)?(r2?R)=r1?r2=4,
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为
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x2y2??1(x??2). 43(Ⅱ)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R?2≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
∴当圆P的半径最长时,其方程为(x?2)2?y2?4, 当l的倾斜角为90时,则l与y轴重合,可得|AB|=23.
当l的倾斜角不为90时,由r1≠R知l不平行x轴,设l与x轴的交点为Q,则
00|QP|R=,可求得Q(-4,0),∴设
|QM|r1l:y?k(x?4),由l于圆M相切得|3k|1?k2?1,解得k??2. 4当k=
x2y222时,将y???1(x??2)并整理得7x2?8x?8?0,解得x?2代入
4344x1,2=18?4?62,∴|AB|=1?k2|x1?x2|=.
77218时,由图形的对称性可知|AB|=, 4718或|AB|=23. 7当k=-综上,|AB|=
x2y2318．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆C：2+2=1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e=,直线l的方程为x=4.
ab22(1) 求椭圆C的方程;
(2) AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数?,使得k1+k2=?k3.?若存在求?的值;若不存在,说明理由
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【答案】解:(1)由P(1,)在椭圆上得,依题设知a?2c,则b?3c ② ②代入①解得c?1,a?4,b?3.
2223219??1 ① a24b222x2y2故椭圆C的方程为??1.
43(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为y?k(x?1) ③
代入椭圆方程3x?4y?12并整理,得(4k?3)x?8kx?4(k?3)?0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
2222228k24(k2?3) ④ x1?x2?2,x1x2?4k?34k2?3在方程③中令x?4得,M的坐标为(4,3k).
333y2?3k?2,k?2,k?2?k?1. 从而k1?23x1?1x2?14?12y1?注意到A,F,B共线,则有k?kAF?kBF,即有
y1y?2?k. x1?1x2?133y2?2?2?y1?y2?3(1?1) 所以k1?k2?x1?1x2?1x1?1x2?12x1?1x2?2y1?x1?x2?23 ⑤ ?2k??2x1x2?(x1?x2)?1Word 资料