内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:00:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
分析 两质点被刚性杆连接构成一整体,其质心坐标可按质心位矢式求出.虽然两力分别作用在杆端不同质点上,但对整体而言,可应用质心运动定律和运动学规律来求解.
解 (1) 选如图所示坐标,则t =0 时,系统质心的坐标为
xc0?m2x20?1.5m
m1?m2m1y10?1.9m
m1?m2yc0?对小球与杆整体应用质心运动定律,得
Fx?F1??m1?m2?Fy?F2??m1?m2?dvx (1) dtdvydt (2)
根据初始条件t =0 时,v =0,分别对式(1)、式(2)积分可得质心速度的分量与时间的函数关系式,有
??t0F1dt??F1dt??vx0?m1?m2?dvx, vx??m1?m2?dvy, vy?F1t (3)
m1?m2F2t (4)
m1?m2tvy00根据初始条件t =0 时,x =xC0 ,y =yC0 ,对式(3)、式(4)再一次积分可得质心坐标与时间的函数关系式,有
?F1?dx??xc0c?0??m?m??dt
2??1xct 76
xc?xc0?F1t2?1.5?0.25t2
2?m1?m2?yct?F2??dt 及 ?dyc???yc00?m?m?2??1yc?yc0?F2t2?1.9?0.19t2
2?m1?m2?(2) 利用动量定理并考虑到系统的初始状态为静止,可得系统总动量与时间的函数关系
P?ΔP???F1?F2?dt??8.0t?i??6.0t?j
0t第四章 刚体的转动
4 -1 有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上:
(1) 这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零; (2) 这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零; (3) 当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零; (4) 当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零. 对上述说法下述判断正确的是( )
(A) 只有(1)是正确的 (B)(1)、(2)正确,(3)、(4)错误 (C) (1)、(2)、(3)都正确,(4)错误 (D)(1)、(2)、(3)、(4)都正确
分析与解 力对轴之力矩通常有三种情况:其中两种情况下力矩为零:一是力的作用线通过转轴,二是力平行于转轴(例如门的重力并不能使门转).不满足上述情况下的作用力(含题述作用力垂直于转轴的情况)对轴之矩不为零,但同时有两个力作用时,只要满足两力矩大小相等,方向相反,两力矩对同一轴的合外力矩也可以为零,由以上规则可知(1)(2)说法是正确.对于(3)(4)两种说法,如作用于刚体上的两个力为共点力,当合力为零时,它们对同一轴的合外力矩也一定为零,反之亦然.但如这两个力为非共点力,则以上结论不成立,故(3)(4)说法不完全正确.综上所述,应选(B). 4 -2 关于力矩有以下几种说法:
(1) 对某个定轴转动刚体而言,内力矩不会改变刚体的角加速度; (2) 一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零;
(3) 质量相等,形状和大小不同的两个刚体,在相同力矩的作用下,它们的运动状态一定相同.
对上述说法下述判断正确的是( )
(A) 只有(2)是正确的 (B) (1)、(2)是正确的
(C)(2)、(3)是正确的 (D) (1)、(2)、(3)都是正确的
分析与解 刚体中相邻质元之间的一对内力属于作用力与反作用力,且作用点相
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同,故对同一轴的力矩之和必为零,因此可推知刚体中所有内力矩之和为零,因而不会影响刚体的角加速度或角动量等,故(1)(2)说法正确.对说法(3)来说,题述情况中两个刚体对同一轴的转动惯量因形状、大小不同有可能不同,因而在相同力矩作用下,产生的角加速度不一定相同,因而运动状态未必相同,由此可见应选(B).
4 -3 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示,今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆到竖直位置的过程中,下述说法正确的是( )
(A) 角速度从小到大,角加速度不变 (B) 角速度从小到大,角加速度从小到大 (C) 角速度从小到大,角加速度从大到小 (D) 角速度不变,角加速度为零
分析与解 如图所示,在棒下落过程中,重力对轴之矩是变化的,其大小与棒和水平面的夹角有关.当棒处于水平位置,重力矩最大,当棒处于竖直位置时,重力矩为零.因此在棒在下落过程中重力矩由大到小,由转动定律知,棒的角加速亦由大到小,而棒的角速度却由小到大(由机械能守恒亦可判断角速度变化情况),应选(C).
4 -4 一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动,轴间摩擦不计.如图射来两个质量相同,速度大小相同,方向相反并在一条直线上的子弹,它们同时射入圆盘并且留在盘内,则子弹射入后的瞬间,圆盘和子弹系统的角动量L 以及圆盘的角速度ω的变化情况为( )
(A) L 不变,ω增大 (B) 两者均不变 (C) L 不变,ω减小 (D) 两者均不确定
分析与解 对于圆盘一子弹系统来说,并无外力矩作用,故系统对轴O 的角动量守恒,故L 不变,此时应有下式成立,即
mvd?mvd?J0ω0?Jω
式中mvD 为子弹对点O 的角动量ω0 为圆盘初始角速度,J 为子弹留在盘中后系统对轴O 的转动惯量,J0为子弹射入前盘对轴O 的转动惯量.由于J >J0 ,则ω
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<ω0 .故选(C).
4 -5 假设卫星环绕地球中心作椭圆运动,则在运动过程中,卫星对地球中心的( )
(A) 角动量守恒,动能守恒 (B) 角动量守恒,机械能守恒 (C) 角动量不守恒,机械能守恒 (D) 角动量不守恒,动量也不守恒 (E) 角动量守恒,动量也守恒
分析与解 由于卫星一直受到万有引力作用,故其动量不可能守恒,但由于万有引力一直指向地球中心,则万有引力对地球中心的力矩为零,故卫星对地球中心的角动星守恒,即r ×mv =恒量,式中r 为地球中心指向卫星的位矢.当卫星处于椭圆轨道上不同位置时,由于|r |不同,由角动量守恒知卫星速率不同,其中当卫星处于近地点时速率最大,处于远地点时速率最小,故卫星动能并不守恒,但由万有引力为保守力,则卫星的机械能守恒,即卫星动能与万有引力势能之和维持不变,由此可见,应选(B). 4 -6 一汽车发动机曲轴的转速在12 s 内由1.2×103 r·min-1均匀的增加到2.7×103 r·min-1.(1) 求曲轴转动的角加速度;(2) 在此时间内,曲轴转了多少转?
分析 这是刚体的运动学问题.刚体定轴转动的运动学规律与质点的运动学规律有类似的关系,本题为匀变速转动.
解 (1) 由于角速度ω=2π n(n 为单位时间内的转数),根据角加速度的定义
dω,在匀变速转动中角加速度为 α?dtω?ω02π?n?n0?α???13.1rad?s?2 tt(2) 发动机曲轴转过的角度为
1ω?ω0θ?ω0t?αt2?t?π?n?n0?
22在12 s 内曲轴转过的圈数为
θn?n0N??t?390圈
2π24 -7 某种电动机启动后转速随时间变化的关系为ω?ω0?1?e?t/τ?,式中ω0=9.0 s-1 ,τ=2 s .求:(1) t =6.0 s 时的转速;(2) 角加速度随时间变化的规律;(3) 启动后6.0 s 内转过的圈数.
分析 与质点运动学相似,刚体定轴转动的运动学问题也可分为两类:(1) 由转
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动的运动方程,通过求导得到角速度、角加速度;(2) 在确定的初始条件下,由角速度、角加速度通过积分得到转动的运动方程.本题由ω=ω(t)出发,分别通过求导和积分得到电动机的角加速度和6.0 s 内转过的圈数.
解 (1) 根据题意中转速随时间的变化关系,将t =6.0 s 代入,即得
ω?ω01?e?t/τ?0.95ω0?8.6s?1
??(2) 角速度随时间变化的规律为
dωω0?t/τα??e?4.5e?t/2rad?s?2
dtτ(3) t =6.0 s 时转过的角度为
??θ??ωdt??ω01?e?t/τdt?36.9rad
0066??则t =6.0 s时电动机转过的圈数
N?θ/2π?5.87圈
4 -8 水分子的形状如图所示,从光谱分析知水分子对AA′ 轴的转动惯量JAA′=1.93 ×10-47 kg·m2 ,对BB′ 轴转动惯量JBB′=1.14 ×10-47 kg·m2,试由此数据和各原子质量求出氢和氧原子的距离D 和夹角θ.假设各原子都可当质点处理.
分析 如将原子视为质点,则水分子中的氧原子对AA ′轴和BB′ 轴的转动惯量均为零,因此计算水分子对两个轴的转动惯量时,只需考虑氢原子即可. 解 由图可得
JAA??2mHd2sin2θ JBB??2mHd2cos2θ
此二式相加,可得JAA??JBB??2mHd2 则 d?JAA??JBB??9.59?10?11m
2mH80