内容发布更新时间 : 2024/11/5 18:44:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

由二式相比，可得 JAA?/JBB??tan2θ 则 θ?arctanJAA?1.93?arctan?52.3o JBB?1.144 －9 一飞轮由一直径为30㎝，厚度为2.0㎝的圆盘和两个直径为10㎝，长为

8.0㎝的共轴圆柱体组成，设飞轮的密度为7.8×103 kg·m-3，求飞轮对轴的转动惯量．

分析 根据转动惯量的可叠加性，飞轮对轴的转动惯量可视为圆盘与两圆柱体对同轴的转动惯量之和；而匀质圆盘、圆柱体对轴的转动惯量的计算可查书中公式，或根据转动惯量的定义，用简单的积分计算得到．

解 根据转动惯量的叠加性，由匀质圆盘、圆柱体对轴的转动惯量公式可得

1?d?1?d?J?J1?J2?2?m1?1??m2?2?2?2?2?2? ?1?414?πρ?ld1?ad2??0.136kg?m216?2?22

4 －10 如图(a)所示，圆盘的质量为m，半径为R．求：(1) 以O为中心，将半径

为R／2 的部分挖去，剩余部分对OO 轴的转动惯量；(2) 剩余部分对O′O′轴(即通过圆盘边缘且平行于盘中心轴)的转动惯量．

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分析 由于转动惯量的可加性，求解第一问可有两种方法：一是由定义式

J??r2dm计算，式中dm 可取半径为r、宽度为dr 窄圆环；二是用补偿法可将剩余部分的转动惯量看成是原大圆盘和挖去的小圆盘对同一轴的转动惯量的差值．至于第二问需用到平行轴定理． 解 挖去后的圆盘如图(b)所示． (1) 解1 由分析知

m2πrdrR/2πR2

2mR315 ?2?rdr?mR2RR/232J0??r2dm??r2R解2 整个圆盘对OO 轴转动惯量为J1?1mR2，挖去的小圆盘对OO 轴转动惯量2221?m?R???R?1J2??2π??????mR2，由分析知，剩余部分对OO 轴的转动惯量为

2?32?πR?2????2?15mR2 32(2) 由平行轴定理，剩余部分对O′O′轴的转动惯量为

J0?J1?J2?2?15mR???2392J0??mR??m?2?π???R?mR2

32πR32?2?????4 －11 用落体观察法测定飞轮的转动惯量，是将半径为R 的飞轮支承在O点上，

然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为m 的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动(如图)．记下重物下落的距离和时间，就可算出飞轮的转动惯量．试写出它的计算式．(假设轴承间无摩擦)．

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分析 在运动过程中，飞轮和重物的运动形式是不同的．飞轮作定轴转动，而重物是作落体运动，它们之间有着内在的联系．由于绳子不可伸长，并且质量可以忽略．这样，飞轮的转动惯量，就可根据转动定律和牛顿定律联合来确定，其中重物的加速度，可通过它下落时的匀加速运动规律来确定．

该题也可用功能关系来处理．将飞轮、重物和地球视为系统，绳子张力作用于飞轮、重物的功之和为零，系统的机械能守恒．利用匀加速运动的路程、速度和加速度关系，以及线速度和角速度的关系，代入机械能守恒方程中即可解得． 解1 设绳子的拉力为FＴ，对飞轮而言，根据转动定律，有

FTR?Jα (1) 而对重物而言，由牛顿定律，有

mg?FT?ma (2)

由于绳子不可伸长，因此，有

a?Rα (3)

重物作匀加速下落，则有

h?由上述各式可解得飞轮的转动惯量为

12at (4) 2?gt2?J?mR??2h?1??

??2解2 根据系统的机械能守恒定律，有

11?mgh?mv2?Jω2?0 (1′)

22而线速度和角速度的关系为

v?Rω (2′)

又根据重物作匀加速运动时，有

v?at (3′) v2?2ah (4′)

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由上述各式可得

?gt2?J?mR??2h?1??

??2若轴承处存在摩擦，上述测量转动惯量的方法仍可采用．这时，只需通过用两个不同质量的重物做两次测量即可消除摩擦力矩带来的影响．

4 －12 一燃气轮机在试车时，燃气作用在涡轮上的力矩为2.03×03N·m，涡轮的转动惯量为25.0kg·m2 ．当轮的转速由2.80×103 r·min-1 增大到1.12×104 r·min-1时，所经历的时间t 为多少？

分析 由于作用在飞轮上的力矩是恒力矩，因此，根据转动定律可知，飞轮的角加速度是一恒量；又由匀变速转动中角加速度与时间的关系，可解出飞轮所经历的时间．该题还可应用角动量定理直接求解．

ω?ω0解1 在匀变速转动中，角加速度α?，由转动定律M?Jα，可得飞轮所

t经历的时间

ω?ω02πJ?n?n0??10.8s t?J?MM解2 飞轮在恒外力矩作用下，根据角动量定理，有

?Mdt?J?ω?ω?

00tω?ω02πJ?n?n0??10.8s J?MM4 －13 如图(a) 所示，质量m1 ＝16 kg 的实心圆柱体A，其半径为r ＝15 cm，可以绕其固定水平轴转动，阻力忽略不计．一条轻的柔绳绕在圆柱体上，其另一端系一个质量m2 ＝8.0 kg 的物体B.求：(1) 物体B 由静止开始下降1.0 s后的距离；(2) 绳的张力FＴ . 则 t? 84

分析 该系统的运动包含圆柱体的转动和悬挂物的下落运动(平动).两种不同的运动形式应依据不同的动力学方程去求解，但是，两物体的运动由柔绳相联系，它们运动量之间的联系可由角量与线量的关系得到.

解 (1) 分别作两物体的受力分析，如图(b).对实心圆柱体而言，由转动定律得

1FTr?Jα?m1r2α

2对悬挂物体而言，依据牛顿定律，有

P2?FT??m2g?FT??m2a

且FＴ ＝FＴ′ .又由角量与线量之间的关系，得

a?rα 解上述方程组，可得物体下落的加速度

a?2m2g

m1?2m2在t ＝1.0 s 时，B 下落的距离为

12m2gt2s?at??2.45m

2m1?2m2(2) 由式(2)可得绳中的张力为

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