内容发布更新时间 : 2024/5/18 15:34:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
vt?v0dv???0αtdt m得 v?v0?因此,飞机着陆10ｓ后的速率为
α2t 2mv ＝30 m·ｓ-1
xt?α2?t?dt 又 ?dx???v0?x002m??故飞机着陆后10ｓ内所滑行的距离
α3t?467m 6m2 -16 质量为m 的跳水运动员,从10.0 m 高台上由静止跳下落入水中．高台距水面距离为h．把跳水运动员视为质点,并略去空气阻力．运动员入水后垂直下沉,水对其阻力为bv2 ,其中b 为一常量．若以水面上一点为坐标原点O,竖直向下为Oy 轴,求：(1) 运动员在水中的速率v与y 的函数关系；(2) 如b /m ＝0.40m -1
,跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0 的1 /10？ (假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等)
s?x?x0?v0t?
分析 该题可以分为两个过程,入水前是自由落体运动,入水后,物体受重力
P、浮力F 和水的阻力Fｆ的作用,其合力是一变力,因此,物体作变加速运动．虽然物体的受力分析比较简单,但是,由于变力是速度的函数(在有些问题中变力是时间、位置的函数),对这类问题列出动力学方程并不复杂,但要从它计算出物体运动的位置和速度就比较困难了．通常需要采用积分的方法去解所列出的微分方程．这也成了解题过程中的难点．在解方程的过程中,特别需要注意到积分变量的统一和初始条件的确定．
解 (1) 运动员入水前可视为自由落体运动,故入水时的速度为
v0?2gh 运动员入水后,由牛顿定律得
P -Fｆ -F ＝ma
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由题意P ＝F、Fｆ＝bv ,而a ＝dv /dt ＝v (d v /dy),代 入上式后得
-bv2＝ mv (d v /dy)
考虑到初始条件y0 ＝0 时, v0?2gh,对上式积分,有
vdv?b??dy? ??0??v0v?m?t2
v?v0e?by/m?2ghe?by/m
(2) 将已知条件b/m ＝0.4 m -1 ,v ＝0.1v0 代入上式,则得
y??mvln?5.76m bv0 *2 -17 直升飞机的螺旋桨由两个对称的叶片组成．每一叶片的质量m＝136 kg,长l＝3.66 m．求当它的转速n＝320 r/min 时,两个叶片根部的张力．(设叶片是宽度一定、厚度均匀的薄片)
分析 螺旋桨旋转时,叶片上各点的加速度不同,在其各部分两侧的张力也不同；由于叶片的质量是连续分布的,在求叶片根部的张力时,可选取叶片上一小段,分析其受力,列出动力学方程,然后采用积分的方法求解．
解 设叶片根部为原点O,沿叶片背离原点O 的方向为正向,距原点O 为r处的长为dr一小段叶片,其两侧对它的拉力分别为FＴ(r)与FＴ(r＋dr)．叶片转动时,该小段叶片作圆周运动,由牛顿定律有
mdFT?FT?r??FT?r?dr??ω2rdr
l由于r ＝l 时外侧FＴ ＝0,所以有
?tFT?r?dFT??lrmω2rdr l 37
mω2222πmn222FT?r???l?r??l?r
2ll????上式中取r ＝0,即得叶片根部的张力
FＴ0 ＝-2.79 ×105 N
负号表示张力方向与坐标方向相反．
2 -18 一质量为m 的小球最初位于如图(a)所示的A 点,然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑．试求小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力．
分析 该题可由牛顿第二定律求解．在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速度就是切向加速度aｔ,与其相对应的外力Fｔ是重力的切向分量mgsinα,而与法向加速度an相对应的外力是支持力FN 和重力的法向分量mgcosα．由此,可分别列出切向和法向的动力学方程Fｔ＝mdv/dt和Fn＝man ．由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运算简便,可转换积分变量． 倡该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比较简便．但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力．
解 小球在运动过程中受到重力P 和圆轨道对它的支持力FN ．取图(b)所示的自然坐标系,由牛顿定律得
dvFt??mgsinα?m (1)
dtmv2Fn?FN?mgcosα?m (2)
R由v?dsrdαrdα?,得dt?,代入式(1),并根据小球从点A 运动到点C 的始dtdtv38
末条件,进行积分,有
?vv0vdv??α90o??rgsinα?dα
得 v?2rgcosα 则小球在点C 的角速度为
vω??2gcosα/r
rmv2?mgcosα?3mgcosα 由式(2)得 FN?mr由此可得小球对圆轨道的作用力为
???FN??3mgcosα FN负号表示F′N 与en 反向．
2 -19 光滑的水平桌面上放置一半径为R 的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v0 ,求：(1) t 时刻物体的速率；(2) 当物体速率从v0减少到12 v0时,物体所经历的时间及经过的路程．
分析 运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的,因而,可先分析动力学问题．物体在作圆周运动的过程中,促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力FN 和环与物体之间的摩擦力Fｆ ,而摩擦力大小与正压力FN′成正比,且FN与FN′又是作用力与反作用力,这样,就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了,从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程．
解 (1) 设物体质量为m,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有
mv2FN?man?
Rdv dt由分析中可知,摩擦力的大小Fｆ＝μFN ,由上述各式可得
Ff??mat??v2dvμ?? Rdt取初始条件t ＝0 时v ＝v 0 ,并对上式进行积分,有
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?t0dt??Rvdv 2?v0μvv?Rv0
R?v0μt(2) 当物体的速率从v 0 减少到1/2v 0时,由上式可得所需的时间为
t??R μv0物体在这段时间内所经过的路程
s??vdt??0t?t?0Rv0dt
R?v0μts?Rln2 μ2 -20 质量为45.0 kg 的物体,由地面以初速60.0 m·ｓ-1 竖直向上发射,物体受到空气的阻力为Fr ＝kv,且k ＝0.03 N/( m·ｓ-1 )．(1) 求物体发射到最大高度所需的时间．(2) 最大高度为多少？
分析 物体在发射过程中,同时受到重力和空气阻力的作用,其合力是速率v 的一次函数,动力学方程是速率的一阶微分方程,求解时,只需采用分离变量的数学方法即可．但是,在求解高度时,则必须将时间变量通过速度定义式转换为位置变量后求解,并注意到物体上升至最大高度时,速率应为零．
解 (1) 物体在空中受重力mg和空气阻力Fr ＝kv 作用而减速．由牛顿定律得
dv?mg?kv?m (1)
dt根据始末条件对上式积分,有
?t0dt??m?vv0vdv
mg?kvt?m?kv0??ln?1??6.11s ??k?mg?(2) 利用
dvdv?v的关系代入式(1),可得 dtdy?mg?kv?mvdv dy分离变量后积分
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