高考数学第一轮复习教案 专题9不等式 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/25 21:01:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

专题九 不等式

一、考试内容:

不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 二、考试要求:

(1)理解不等式的性质及其证明.

(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.

(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法.

(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 三、命题热点

高考对该部分主要从以下几个方面考查:一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。高考在解答题中一般有一道数列题,各地高考的试题不尽相同,但总的趋势是难度在下降;试卷中没有不等式解答题,通常会在小题中设置1到2道,而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。 四、知识回顾

1. 不等式的基本概念

(1) 不等(等)号的定义:a?b?0?a?b;a?b?0?a?b;a?b?0?a?b. (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式.

(4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质

(1)a?b?b?a(对称性)

(2)a?b,b?c?a?c(传递性)

(3)a?b?a?c?b?c(加法单调性)

(4)a?b,c?d?a?c?b?d(同向不等式相加) (5)a?b,c?d?a?c?b?d(异向不等式相减) (6)a.?b,c?0?ac?bc

(7)a?b,c?0?ac?bc(乘法单调性)

(8)a?b?0,c?d?0?ac?bd(同向不等式相乘)

(9)a?b?0,0?c?d?ab?cd(异向不等式相除)

(10)a?b,ab?0?11(倒数关系) ?ab(11)a?b?0?an?bn(n?Z,且n?1)(平方法则) (12)a?b?0?na?nb(n?Z,且n?1)(开方法则)

3.几个重要不等式

(1)若a?R,则|a|?0,a2?0

(2)若a、b?R?,则a2?b2?2ab(或a2?b2?2|ab|?2ab)(当仅当a=b时取等号) (3)如果a,b都是正数,那么 ab?a?b.(当仅当a=b时取等号)

2极值定理:若x,y?R?,x?y?S,xy?P,则:

1如果P是定值, 那么当x=y时,S的值最小; ○

2如果S是定值, 那么当x=y时,P的值最大. ○

利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.

(4)若a、b、c?R?,则a?b?c3?abc(当仅当a=b=c时取等号) 3ba(5)若ab?0,则??2(当仅当a=b时取等号)

ab(6)a?0时,|x|?a?x2?a2?x??a或x?a;|x|?a?x2?a2??a?x?a

(7)若a、b?R,则||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b| 4.几个著名不等式

(1)平均不等式: 如果a,b都是正数,那么

a?ba2?b2(当仅当

?ab??.1122?ab2a=b时

取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数):

2222a?ba?ba?ba?b22特别地,ab?((当a = b时,()?)??ab)

2222a2?b2?c2?a??b?c????(a,b,c?R,a?b?c时取等) 33??22?...?an??幂平均不等式:a12?a221(a1?a2?...?an)2 n注:例如:(ac?bd)2?(a2?b2)(c2?d2).

1111111常用不等式的放缩法:①???2???(n?2) nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n②n?1?n?1n?n?1?12n?1n?n?1?n?n?1(n?1)

(2)柯西不等式: 若a1,a2,a3,?,an?R,b1,b2,b3?,bn?R;则2222222(a1b1?a2b2?a3b3???anbn)2?(a1?a2?a3???an)(b12?b2?b3??bn)aaaa当且仅当1?2?3???n时取等号b1b2b3bn

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数

若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点x1,x2(x1?x2),有

f(x1?x2f(x1)?f(x2))?或22f(x1?x2f(x1)?f(x2)

)?.22则称f(x)为凸(或凹)函数.

5.不等式证明的几种常用方法

比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

6.不等式的解法

(1)整式不等式的解法(根轴法).

步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解. 特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论;

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的讨论.

(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f(x)?0?f(x)g(x)?0;g(x)?f(x)g(x)?0 f(x)?0??g(x)?g(x)?0(3)无理不等式:转化为有理不等式求解 ○1

?f(x)?0????定义域

f(x)?g(x)??g(x)?0??f(x)?g(x)? ○2f(x)?g(x)??g(x)?0??f(x)?0f(x)?0 ○3或??g(x)?02???f(x)?[g(x)]?f(x)?0? f(x)?g(x)??g(x)?02??f(x)?[g(x)](4).指数不等式:转化为代数不等式

af(x)?ag(x)(a?1)?f(x)?g(x);af(x)?ag(x)(0?a?1)?f(x)?g(x)

af(x)?b(a?0,b?0)?f(x)?lga?lgb(5)对数不等式:转化为代数不等式

?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)(a?1)??g(x)?0;?f(x)?g(x)??f(x)?0? logaf(x)?logag(x)(0?a?1)??g(x)?0?f(x)?g(x)?(6)含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值; ○2应用数形思想; ○

3应用化归思想等价转化 ○

g(x)?0|f(x)|?g(x)????g(x)?f(x)?g(x)?

g(x)?0?|f(x)|?g(x)?g(x)?0(f(x),g(x)不同时为0)或??f(x)??g(x)或f(x)?g(x)

注:常用不等式的解法举例(x为正数): ①x(1?x)2?1124 ?2x(1?x)(1?x)?()3?2232722x2(1?x2)(1?x2)123423②y?x(1?x)?y? ?()??y?2232792类似于y?sinxcosx?sinx(1?sinx),③|x?1|?|x|?|1|(x与1同号,故取等)?222xxx

7、二元一次不等式(组)与简单线性规划问题

(一)二元一次不等式表示的区域

对于直线Ax?By?C?0(A>0)

当B>0时, Ax?By?C?0表示直线Ax?By?C?0上方区域; Ax?By?C?0表示直线Ax?By?c?0的下方区域.

当B<0时, Ax?By?C?0表示直线Ax?By?C?0下方区域; Ax?By?C?0表示直线Ax?By?c?0的上方区域.

(二)线性规划

(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x、y的一次