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2-18 液体比重计如2．6．2节图2—21所示。试依据浮力原理椎证关系式(2—34)。 2-19 设直径为众的球体淹没在静水中，球体密度与水体密度相同，球体处子静止态。若要将球体刚刚提出水面，所作的功为多少?提示：高度为H的球缺的体积

V??H2(d2?H3。)

2-20 长10 m、半径1.5m的木质半圆柱体浮于水面上，平面朗上，最低点的淹没深度为0.9 m。求半圆柱体木质材料的密度。

2-21 2．6．2节中图2—23所示混凝土沉箱。(1)什高度由5 m增加到6 m，确定沉箱的稳定性；(2)若高度由5 m增加到6 m，但底部厚度增加到0.4 m，试求吃水深度，且检验沉箱的稳定性。

第三章 流体运动学

3-1 已知某流体质点做匀速直线运动，开始时刻位于点A(3，2，1)，经过10秒钟后运动到点B(4，4，4)。试求该流体质点的轨迹方程。

tt3t解：x?3?,y?2?,z?1?

105103-2 已知流体质点的轨迹方程为

?x?1?0.01t5??5?y?2?0.01t ?z?3??试求点A(10，11，3)处的加速度α值。

解：由x?1?0.01t5?10，y?2?0.01t5?11解得t?15.2

?u?2x?2y?2z33a??2i?2j?2k?ti?tj

?t?t?t?t8080把t?15.2代入上式得a?0.206

?u?xt?2y3-3 已知不可压缩流体平面流动的流速场为?，其中，流速、位置坐标和时2v?xt?yt?间单位分别为m/s、m和s。求当t＝l s时点A(1，2)处液体质点的加速度。

解：根据加速度的定义可知：

a?Du?u?u?u?u?ux?uy?uz? Dt?x?y?z?t当t＝l s时点A(1，2) 处液体质点的加速度为：

ax?Du?u?u?u?u?v??t(xt?2y)?2(xt2?yt)?x?3m/s Dt?x?y?tDv?v?v?v2?u?v??t(xt?2y)?t(xt2?yt)?2xt?y?6m/s Dt?x?y?tay??u?1?y3-4 已知不可压缩流体平面流动的流速分量为?。求(1) t＝0时，过(0，0)点的

v?t?迹线方程；(2) t＝1时，过(0，0)点的流线方程。

dxdy?dt得 解：(1) 将u?1?y, v?t带入迹线微分方程?uvdxdy??dt1?yt

t2解这个微分方程得迹线的参数方程： y??c1

2将t?0时刻，点（0,0）代入可得积分常数：c1?0。

t2t2将y?代入dx?(1?y)dt得：dx?(1?)dt

22t3所以：x?t??c2，将t?0时刻，点（0,0）代入可得积分常数：c2?0。

6?t2y???2，消去 联立方程?t3?x?t?t?6?得迹线方程为：

2342y?y?2y?x2?0 93dxdy?得 uxuy(2) 将u?1?y, v?t带入流线微分方程

dxdy? 1?yty2t被看成常数，则积分上式得xt?y??c，c=0

2y2?0 t=1时过（0,0）点的流线为xt?y?23-5 试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性方程(连续性方程的极坐标形式可参考题3—7)。

解：根据连续方程得定义，对于不可压缩流体??const， 在直角坐标系中当??u??ux?uy?uz???0时，满足连续方程 ?x?y?z?u??ky?u?v?w??0，满足 (1)?v?kx,因???x?y?z?w?C??u?kx?u?v?w??0，满足 (2)?v??ky,因???x?y?z?w?C??y?u??x2?y2?x?u?v?w2xy?2xy??????0，满足 (3) ?v?2,因2222222x?y?x?y?z(x?y)(x?y)??w?0???u?ay?u?v?w?0，满足 (4)?, 因???x?y?zv?w?0??u?4?u?v?w?0，满足 (5) ?, 因???x?y?z?v?w?0?u?1?u?v?w?0，满足 (6) ?, 因???x?y?zv?2?在圆柱坐标系中当

ur?ur1?uθ?uz????0时，满足连续方程 r?rr???z?ur?k/ru?u1?uθ?uz1kk(7) ?,因r?r?????2?0?0，满足

u?0r?rr???zrrr?θ?ur?0u?u1?uθ?uz1(8) ?,因r?r???0?0??0?0?0，满足

r?rr???zr?uθ?k/r?u?4x?u?v?w?4?0，不满足 (9)?, 因???x?y?z?v?C?u?4xy?u?v?w?4y?0，不满足 (10) ?，因???x?y?zv?0?其中，k、α和C均为常数，式(7)和(8)中k?0

3-6 已知圆管过流断面上的流速分布为u?umax[1??rr0?]，umax为管轴处最大流速，r0为圆管半径，r为某点到管轴的距离。试求断面平均流速V与umax之间的关系。

2解：断面平均速度V??udA?Ar0A?0r02r04r32?umax(r?2)dr2?umax(?2)r024r0umax ???r02?r0223-7 利用图中所示微元体证明不可压缩流体平面流动的连续性微分方程的极坐标形式为

?urur1?u????0 ?rrr??

解：取扇形微元六面体，体积dV?rdrd?dz，中心点M密度为?(r,?,z,t)，速度为

u?u(r,?,z,t)，r向的净出质量dmr为

dmr?dmr2?dmr1

?udr?udr??drdr??drdr)(ur?r)(r?)?(??)(ur?r)(r?)]d?dzdt?r2?r22?r2?r22?u?(?ur)?u?(?ur)?(r?)rdrd?dzdt?(r?)dVdt

r?rr?r类似有

?[(??dmθ?dmθ2?dmθ1

?u?ud???d???d?)(uθ?θd?)?(??)(uθ?θ)]drdzdt ??2????2??21?(?uθ)?dVdt r???[(??dmz?dmz2?dmz1

?u?udz??dz??dz)(uz?zdz)?(??)(uz?z)]dr?rd?dt ?z2?z?z2?z2?(?uz) ?dVdt

?z ?[(???d若流出质量dm?dm，控制体内的质量减少量dmV可表示为r?dmθzmdmV?????(?dV)?td??t?t Vd。按质量守恒定律不难得出td?urr??(?ur)1?(?uθ)?(?uz)??????0 ?rr???z?t不可压缩流体平面流动??const ，uz?0，则有

ur?ur1?uθ???0 r?rr??3-8 送风管的断面面积为50×50 cm2，通过a、b、c、d四个送风口向室内输送空气，如图示。已知送风口断面面积均为20×20 cm2，气体平均流速为5m/s，试求通过送风管过流断面1—1、2—2和3—3的流速和流量。

1解：由于a、b、c、d四个送风口完全相同，则Qa?Qb?Qc?Qd?Q0

4流断面1-1、2-2、3-3的流量分别为：