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2016年北京市朝阳区高三第一学期期末数学(理)试题和答案
北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷（理工类） 2016．1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
x???0?，则MN? 1．已知集合M??x|?1?x?1?，N??x|开始 ?x?1?A．?x|0?x?1? B．?x|0?x?1? C．?x|x?0? D．?x|?1?x?0? 2．复数z?i(1?i)（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为
A．(1,1) B．(?1,?1) C．(1,?1) D． (?1,1)
3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为 A．3 B．4 C．5 D．6
m=m(2-i)+1 4．在一段时间内有2000辆车通过高速公
频率路上的某处，现随机抽取其中的200辆进
组距行车速统计，统计结果如下面的频率分布
0.035 i= i +1 直方图所示．若该处高速公路规定正常行
0.030 驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000
辆车中，在这段时间内以正常速度通过该
0.020 处的汽车约有
m=0? A．30辆 B．300辆
0.010 C．170辆 D．1700辆
是 0.005 5．“a?1”是“函数f(x)?a?x?cosx在
80 90 100 110 120 130车速（km/h） R上单调递增”的 输出i A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知点Q(22,0)及抛物线x2?4y上一动点P(x,y),则y?PQ的最小值是
结束 1A. B.1 C.2 D.3 27．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是 A．27 B．30 C．32 D．36 8．设函数f(x)的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x?D，都有 3 m =1, i=1 否 f(x?m)?f(x)，则称f(x)为D上的“m型增函数”．已知函数f(x)是定义在R上的 奇函数，且当x?0时，f(x)?x?a?a（a?R）．若f(x)为R上的“20型增函数”，
则实数a的取值范围是 A．a?0 B．a?5 C．a?10 D．a?20
4 正视图 3 俯视图
侧视图
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
?9．函数y?2sin(2x?)?1的最小正周期是 ，最小值是 ．
6?x?y≤2，?10．若x，y满足约束条件?2x?y≥1，则z?x?y的最大值为 ．
?y≤1，?11．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是 ．
12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ．
13．已知A,B为圆C:(x?m)2?(y?n)2?9(m,n?R)上两个不同的点（C为圆心），且满足|CA?CB|?25，则AB? ．
14．已知点O在?ABC的内部，且有xOA?yOB?zOC?0，记?AOB,?BOC,?AOC的面积分别为S?AOB，S?BOC，S?AOC.若x?y?z?1，则S?AOB:S?BOC:S?AOC? ；若x?2,y?3,z?4，则S?AOB:S?BOC:S?AOC? ．
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2016年北京市朝阳区高三第一学期期末数学(理)试题和答案
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
?7216．（本小题满分13分）如图，在?ABC中，点D在BC边上，?CAD?,AC?，cos?ADB??．
4210（Ⅰ）求sin?C的值； （Ⅱ）若BD?5,求?ABD的面积． A 17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是菱形，且?DAB?60?．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA?PD?AD，且平面PAD?平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值． 18．（本小题满分14分）已知函数f(x)?ax?lnx,其中a?R．（Ⅰ）若f(x)在
B D 区间[1,2]上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a??e时，（ⅰ）证明：
C
lnx3?是否有实数解，并说明理由． x219.（本小题满分14分）已知圆O:x2?y2?1的切线l与椭圆C:x2?3y2?4相交于A,B两点.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA?OB；（Ⅲ）求?OAB面积的最大值.
*20．（本小题满分13分）已知有穷数列：a1,a2,a3,,ak(k?N,k?3)的各项均为正数，f(x)?2?0；（ⅱ）试判断方程f(x)?且满足条件：①a1?ak；
PFDAECB21a??2a?(n?1,2,3,②nn?1anan?1,k?1)．（Ⅰ）若k?3,a1?2，求出这个数列；
（Ⅱ）若k?4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．
北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试
数学答案（理工类） 2016．1
一、选择题：（满分40分） 1 2 3 4 5 题号 A D B D A 答案 二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 9 10 11 12 13 题号 π，?1 答案 12 4 4 42 三、解答题：（满分80分） 6 C 14 7 A 8 B 1:1:1 4:2:3 123C3?C7?C30?C749?. 所以选15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则P(A)?3C106049出的3名同学来自班级的概率为．……………………………5分
60312C30?C7C3?C7721?P(X?1)??（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，则P(X?0)?；； 33C1024C1040130C32?C7C3?C771P(X?2)??P(X?3)??；．所以随机变量X的分布列是 33C1040C10120X 0 1 2 / 5
2 3 2016年北京市朝阳区高三第一学期期末数学(理)试题和答案 72171 244040120721719随机变量X的数学期望E(X)?0??1??2??3??．…………………………13分
24404012010??27216． （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为cos?ADB??，所以sin?ADB?．又因为?CAD?，所以?C??ADB?．
441010P 所以
???722224sin?C?sin(?ADB?)?sin?ADB?cos?cos?ADB?sin?????4441021025．………………………7分
74?AC?sin?C25ADAC??22． ?（Ⅱ）在?ACD中，由，得AD?sin?ADC72sin?Csin?ADC10所以S?ABD?zPFGDCE1172AD?BD?sin?ADB??22?5??7． …………13分 A2210Byx17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．
又因为AB?面PCD，CD?面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A,B,E,F四点共面，且平面ABEF平面PCD?EF，所以AB∥EF．………………………5分
（Ⅱ）取AD中点G，连接PG,GB．因为PA?PD，所以PG?AD．又因为平面PAD?平面ABCD，且平面PAD平面ABCD?AD，所以PG?平面ABCD．所以PG?GB．在菱形ABCD中，因为AB?AD，?DAB?60?，G是
a,0,0)，AD中点，所以AD?GB．如图，建立空间直角坐标系G?xyz．设PA?PD?AD?2a，则G(0,0,0),A(又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所B(0,3a,0),C(?2a,3a,0),D(?a,0,0),P(0,0,3a)．
以E(?a,3a3aa3a3a3aa3a,)，F(?,0,)．所以AF?(?,0,)，EF?(,?,0)．设平面AFE的法向量为22222222?z?3x,?n?AF?0,??n?(x,y,z)，则有?所以?3 令x?3，则平面AFE的一个法向量为n?(3,3,33)．因为BG?平
x.??y??n?EF?0.3?面PAD，所以GB?(0,3a,0)是平面PAF的一个法向量．因为cos
13． ……………………13分 13118．（本小题满分14分）解：函数f(x)定义域x?(0,??)，f?(x)?a?．
x（Ⅰ）因为f(x)在区间[1,2]上为增函数，所以f?(x)?0在x?[1,2]上恒成立，即f?(x)?a?成立，则a??.……………………………………………………4分
11?0，a??在x?[1,2]上恒xx12?ex?1． x1111（ⅰ）令f?(x)?0，得x?．令f?(x)?0,得x?(0,)，所以函数f(x)在(0,)单调递增．令f?(x)?0,得x?(,??)，所
eeee1111以函数f(x)在(,??)单调递减．所以，f(x)max?f()??e??ln??2．所以f(x)?2?0成立．…………………9分
eeee1?lnxnlx3()??,x?0,(.)??（ⅱ）由（ⅰ）知，f(x)max??2，所以|f(x)|?2．设gx所以g?(x)?．令g?(x)?0，得x?e．令2x2xg?()x0?,得x?(0,e)，所以函数g(x)在(0,e)单调递增，令g?(x)?0,得x?(e,??)，所以函数g(x)在(e,??)单调递减；所以，（Ⅱ）当a??e时，f(x)??e x?lnx,f?(x)?3 / 5