内容发布更新时间 : 2024/11/15 18:14:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

矩阵的初等变换及应用 内容摘要：

矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一 矩阵的概念

定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵

二 矩阵初等变换的概念

定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1.初等行变换

矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);

(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);

(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1. 初等列变换

把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与矩阵B等价，记作A~B

矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性 ; (2) 对称性 若,则; (3) 传递性 若,,则.

三 矩阵初等变换的应用

1. 利用初等变换化矩阵为标准形

定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形

2. 利用初等变换求逆矩阵

求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)

即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))

这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，

若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。

设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ，

为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 .

这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.

同理, 求解矩阵方程 等价于计算矩阵 亦可利用初等列变换求矩阵. 即

.

3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩

矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.

定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）