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高等代数习题及答案(1)

篇一：高等代数习题解答(第一章) 高等代数习题解答 第一章 多项式

补充题1．当a,b,c取何值时，多项式f(x)?x?5与g(x)?a(x?2)2?b(x?1) ?c(x2?x?2)相等？

6136提示：比较系数得a??,b??,c?. 555

补充题2．设f(x),g(x),h(x)??[x]，f2(x)?xg2(x)?x3h2(x)，证明： f(x)?g(x)?h(x)?0．

证明 假设f(x)?g(x)?h(x)?0不成立．若f(x)?0，则?(f2(x))为偶数，又g2(x),h2(x)等于0或次数为偶数，由于g2(x),h2(x)??[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg2(x)?x3h2(x)等于0或次数为奇数，矛盾．若g(x)?0或h(x)?0则?(xg2(x)?x3h2(x))为奇数，而f2(x)?0或?(f2(x))为偶数，矛盾．综上所证，f(x)?g(x)?h(x)?0．

1．用g (x) 除 f (x)，求商q (x)与余式r (x)： 1）f (x) = x3- 3x2 -x-1，g (x) =3x2 -2x+1； 2）f (x) = x4 -2x+5，g (x) = x2 -x+2． 1）解法一 待定系数法．

由于f (x)是首项系数为1的3次多项式，而g (x)是首项系数为3的2次多项式，

1所以商q(x)必是首项系数为的1次多项式，而余式的次数小于 2．于是可设 3

1 q(x) =x+a , r(x) =bx+c 3 根据 f (x) = q(x) g(x) + r(x)，即 1 x3-3x2 -x-1 = (x+a)( 3x2 -2x+1)+bx+c 3 右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得

21 ?3?3a?, ?1??2a??b, ?1?a?c 33 7262解得 a?? , b?? , c?? ，故得 999 17262q(x)?x?, r(x)??x?.3999 解法二 带余除法． 3-21 1 -3-1 -1 1 ? ?

?21 3374 ?-1 337147 ? 399 262 ? 9917 ? 39? 得

17262q(x)?x?, r(x)??x?. 3999 2） q(x)?x2?x?1,r(x)??5x?7. r(x)?? 2．m,p,q适合什么条件时，有 1）x2?mx?1x3?px?q; 2）x2?mx?1x4?px2?q.

?1除x3?px1）解 x2?mx得余式为： ?q262x?. 99 r(x)?(p?m2?1)x?(q?m)，

?p?m2?1?0;令r(x)?0，即 ? ?q?m?0. 故x2?mx?1x3?px?q的充要条件是 ?m?q; ? 2p?m?1?0.?

?1除x4?px2?q得余式为： 2）解 x2?mx r(x)??m(p?m2?2)x?(q?p?m2?1)，

2???m(p?m?2)?0;令r(x)?0，即 ? 2??q?p?m?1?0. 解得x2?mx?1x4?px2?q的充要条件是 ?m?0; ? 或 p?q?1??q?1; ?2p?2?m.? 3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式r(x)：

1）f(x)?2x5?5x3?8x,g(x)?x?3; 2）f(x)?x3?x2?x,g(x)?x?1?2i. 1）解法一 用带余除法（略）．

解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0： -320-50 -8 0

+-618 -39117 -327 2 -613 -39109 -327 所以

q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109,r(x)??327. 2）解法一 用带余除法（略）．

解法二 用综合除法．写出按降幂排列的系数，缺项的系数为0： f(x)

1-2i 1 -1 -1 0 + 1-2i -4-2i-9+8i 1 -2i -5-2i-9+8i 所以

q(x)?2 i8.x?2ix?(5?2i),r(x?)??9 4．把f(x)表成x?x0的方幂和，即表成 c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2?? 的形式： 1）f(x)?x5,x0?1; 2）f(x)?x4?2x2?3,x0??2;

3）f(x)?x4?2ix3?(1?i)x2?3x?7?i,x0??i. 注 设f(x)表成c0?c1(x?x)?c(x?2

0x)??的形式，则c0就是f(x)被x?x0除02

所得的余数，c1就是f(x)被x?x0除所得的商式c1?c2(x?x)?c(x?2