2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测(六)函数的单调性与最值(含解析).doc 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/26 3:31:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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∴当mF(n), 即f(m)-f(-m)>f(n)-f(-n)成立.

因此,当f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立时,不等式m-n<0一定成立,故选A.

??m+x,|x|≥1,

5.[数形结合法]设函数f(x)=?

?x,|x|<1?

2

的图象过点(1,1),函数g(x)是二

次函数,若函数f(g(x))的值域是[0,+∞),则函数g(x)的值域是________.

?m+x,|x|≥1,?

解析:因为函数f(x)=?

??x,|x|<1?x,|x|≥1,?

=0,所以f(x)=?

??x,|x|<1.

2

2

的图象过点(1,1),所以m+1=1,解得m

画出函数y=f(x)的大致图象如图所示,观察图象可知,

当纵坐标在[0,+∞)上时,横坐标在(-∞,-1]∪[0,+∞)上变化. 而f(x)的值域为(-1,+∞),

f(g(x))的值域为[0,+∞),

因为g(x)是二次函数, 所以g(x)的值域是[0,+∞). 答案:[0,+∞)

(三)素养专练——学会更学通

6.[数学抽象]已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-3),B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式-3<f(x+1)<1的解集的补集是(全集为R)( )

A.(-1,2)

C.(-∞,-1)∪[4,+∞)

B.(1,4)

D.(-∞,-1]∪[2,+∞)

解析:选D 由函数f(x)是R上的增函数,A(0,-3),B(3,1)是其图象上的两点,知不等式-3<f(x+1)<1即为f(0)<f(x+1)<f(3),所以0<x+1<3,所以-1<x<2,故不等式-3<f(x+1)<1的解集的补集是(-∞,-1]∪[2,+∞).

11

7.[数学运算]已知函数f(x)=-(a>0,x>0).

ax(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; 11

(2)若f(x)在,2上的值域是,2,求a的值.

22解:(1)证明:设x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0,

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?11??11?因为f(x2)-f(x1)=?-?-?-?

?ax2??ax1?

11x2-x1

=-=>0,所以f(x2)>f(x1),

x1x2x1x2

所以f(x)在(0,+∞)上是增函数. 11

(2)因为f(x)在,2上的值域是,2,

221

又由(1)得f(x)在,2上是单调增函数,

2

?1?1

所以f??=,f(2)=2,

?2?2

2

解得a=.

5

??8.[数学运算]已知函数f(x)=lg?x+-2?,其中a是大于0的常数.

?

?

(1)求函数f(x)的定义域;

(2)当a∈(1,4)时,求函数f(x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围. 解:(1)由x+-2>0,

axaxx2-2x+a得>0,

x当a>1时,x-2x+a>0恒成立,定义域为(0,+∞); 当a=1时,定义域为{x|x>0且x≠1};

当01+1-a}.

2

aax2-a(2)设g(x)=x+-2,当a∈(1,4),x∈[2,+∞)时,g′(x)=1-2=2>0恒成

xxx立,

所以g(x)=x+-2在[2,+∞)上是增函数.

ax??所以f(x)=lg?x+-2?在[2,+∞)上是增函数.

?

?

??所以f(x)=lg?x+-2?在[2,+∞)上的最小值为f(2)=lg. 2?x?

(3)对任意x∈[2,+∞)恒有f(x)>0, 即x+-2>1对任意x∈[2,+∞)恒成立. 所以a>3x-x,令h(x)=3x-x,

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2

2

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?3?292

而h(x)=3x-x=-?x-?+在[2,+∞)上是减函数,所以h(x)max=h(2)=2,所以

?2?4

a>2.

即a的取值范围为(2,+∞).

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