内容发布更新时间 : 2025/3/14 21:19:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
§9 三角函数的简单应用
内容要求 1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型(重点).2.初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题(难点)．
知识点1 利用三角函数模型解决实际问题
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型．
利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下： (1)收集数据，画出“散点图”；
(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；
(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体分析． 【预习评价】 求下列函数的周期
2π
(1)y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；
|ω|2π
(2)y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝；
|ω|π
(3)y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝. |ω|知识点2 三角函数模型在物理学中的应用
在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：
(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移； 2π
(2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；
ω1ω
(3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数．
T2π【预习评价】
在函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)中，A，b与函数的最值有何关系？ 提示 A，b与函数的最大值ymax，最小值ymin关系如下： (1)ymax＝A＋b，ymin＝－A＋b； (2)A＝
ymax－ymin
2
，b＝ymax＋ymin
2
.
题型一 已知解析式求周期最值
【例1】 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝π??2203·sin?100πt＋?来表示，求： 6??(1)开始时电压；
(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解 (1)当t＝0时，E＝1103(V)． 即开始时的电压为1103 V.
2π1
(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.
100π50(3)电压的最大值为2203 V.
ππ1
当100πt＋＝，即t＝ s时第一次取得最大值．
62300
规律方法 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键． 【训练1】 单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系π??为s＝6sin?2πt＋?.
6??(1)作出它的图像；
(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (4)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)图略． (2)当t＝0时，
s＝6sin＝6×＝3，即
单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.
π??(3)s＝6sin?2πt＋?的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm. 6??π??(4)s＝6sin?2πt＋?的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s. 6??题型二 已知模型求解析式
【例2】 如图所示，表示电流I与时间t的关系式：I＝Asin(ωt＋π)(A＞0，ω＞0)在一个周期内的图像．根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式．
π
612
解 由图像可知A＝300，
1??11?2π?－－又T＝2?＝，∴ω＝＝100π. ???T?150?300??501
又∵t＝－时，ωt＋φ＝0，
300∴100π(－
1π)＋φ＝0即φ＝， 3003
π??∴I＝300sin?100πt＋?.
3??
规律方法 将实际问题的“条件”与函数模型“y＝Asin(ωx＋φ)＋B”中A，ω，φ，B的意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键．
【训练2】 如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为________．
解析 设该振子振动的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是t轴，振幅A为2，
2π5π
周期T＝2×(0.5－0.1)＝0.8，所以ω＝＝，
0.82则y＝2sin?
?5πx＋φ?.
?
?2?
π
. 4
将点(0.1,2)代入，得φ＝
故该振子振动的函数解析式为y＝2sin?答案 y＝2sin?
?5πx＋π?.
4??2?
?5πx＋π?
4??2?
【例3】 据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f(x)