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2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合M={1,2}，N={0,1,3}，则M∩N= ( ) A．{1} B．{0,1} C．{1,2} D．{1,2,3} 2．化简(1-cos30°)(1+cos30°)得到的结果是( )

31A． B． C．0 D．1

443．如图，一个几何体的三视图都是半径为1的圆， 正视图 侧视图

则该几何体表面积( )

4A．π B．2π C．4π D．?

俯视图 34．直线x-y+3=0与直线x+y-4=0的位置关系为( )

E A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直

D C 5．如图，ABCD是正方形，E为CD边上一点，在该正方形中

随机撒一粒豆子，落在阴影部分的概率为( )

1113A． B． C． D．

4324A B 6．已知向量a??1,2?，b???3,?6?，若b??a，则实数λ的值为( ) 11A． B．3 C．? D．-3

337．某班有50名学生，将其编为1，2，3，…，50号，并按编号从小到大平均分成5

组，现从该班抽取5名学生进行某项调查，若用系统抽样方法，从第一组抽取学生的号码为5，则抽取5名学生的号码是( )

A．5，15，25，35，45 B．5，10，20，30，40 C．5，8，13，23，43 D．5，15，26，36，46 8．已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：

x -1 0 1 2 3 f(x) 8 4 -2 0 6 则函数f(x)一定存在零点的区间是( ) y A．（-1，0） B．（0，1） C．(1，2) D．(2，3) 2 9．如图，点(x,y)在阴影部分所表示的平面区域上，

则z=y-x的最大值为( )

O 2 x A．-2 B．0 C．1 D．2

10．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了1个伙伴；第二天，2只蜜蜂

飞出去各自找回了1个伙伴；……；如果这个找伙伴的过程继续下去，第n天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂的只数为( ) A．2n-1 B．2n C．3n D．4n

1

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．函数f(x)= log(x-3)的定义域为 _________. 开始 ?12．函数y?sin(2x?)的最小正周期为_______. 输入x 3否 13．某程序框图如图所示，若输入的x值为-4， x?0?是 则输出的结果为__________.

输出x输出 ?x14．在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，

1 已知c=2a，sinA=，则sinC=_______. 结束 215．已知直线l：x - y +2=0，圆C：x2 +y2 = r2(r>0)，若直线l与圆C相切，

则圆的半径是r= _____.

三、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分6分)

学校举行班级篮球赛，某名运动员每场比赛得分记录的径叶图如下： (1)求该运动员得分的中位数和平均数； (2)估计该运动员每场得分超过10分的概率. 0 3 5 7 8 1 0 1 2 0 0 4

17．(本小题满分8分)

已知函数f(x)=(x-m)2+2

(1)若函数f(x)的图象过点(2,2)，求函数y=f(x)的单调递增区间； (2)若函数f(x)是偶函数，求的m值.

2

18．(本小题满分8分)

已知正方体ABCD- A1B1C1D1.

A1 (1)证明：D1A//平面C1BD；

(2)求异面直线D1A与BD所成的角.

A

19．(本小题满分8分)

已知向量a?(2sinx,1),b?(2cosx,1),x?R.

?(1)当x=时，求向量a?b的坐标;

4D1 B1 C1 D B C (2)设函数f(x)=a?b，将函数f(x)图象上的所有点向左平移的图象，当x∈[0,

3

?个单位长度得到g(x)4?]时，求函数g(x)的最小值. 220．（本小题满10分）

已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+2，其中n∈N*. (1)写出a2，a3及an；

111(2)记设数列{an}的前n项和为Sn，设Tn=+++，试判断Tn与1的关系；

S1S2Sn(3)对于(2)中Sn，不等式Sn?Sn-1+4Sn -λ(n+1)Sn-1≥0对任意的大于1的整数n恒成立，求实数λ的取值范围.

4

2015年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 A B C A C D A B D B

二 、填空题

11．(3,+∞)； 12．π； 13．4； 14．1； 15．2

三 、解答题(满分40分)

16．解：(1)中位数为10；平均数为9. …4分

(2)每场得分超过10分的概率为P=0.3. …6分

17．解：(1) 依题，2=(2-m)2+2，解得m =2， …2分

∴f(x)=(x-2)2+2， ∴y=f(x)的单调递增区间是(2,+∞). …4分 (2)若函数f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)， …6分 即(-x-m)2+2=(x-m)2+2，解得m=0. …8分

18．(1)证明：在正方体中，D1A∥C1B，又C1B ?平面C1BD，

D1A ?平面C1BD，∴D1A//平面C1BD. …4分

(2) 解：∵ D1A∥C1B，∴异面直线D1A与BD所成的角是∠C1BD. …6分 又ΔC1BD是等边三角形. ∴∠C1BD=60°．∴D1A与BD所成的角是60°. …8分

19．解：(1) 依题，a?(2,1),b?(2,1),?a+b?(22,2). …4分

?(2) 依题，f(x)=4sinxcosx+1=2sin2x+1，g(x)=2sin[2(x+)]+1=2cos2x+1，

4?∵x∈[0, ]，∴2x∈[0,π]，∴当2x=π时，g(x)min=-1. …8分

2

20．解：(1) 依题a2= a1+2=4，a3= a2+2=6，

依题{an}是公差为2的等差数列，∴an =2n； …3分

1111??(2) ∵ Sn=n(n+1)，∴?，

Snn(n?1)nn?1111111)?1?∴Tn?(1?)?(?)??(?<1 …6分

223nn?1n?1(3) 依题n(n+1)?(n-1)n+4n(n+1)-λ(n+1)(n-1)n≥0， 即(n-1)n+4-λ(n-1)≥0，

444?n?1??1?5， 即λ≤n?对大于1的整数n恒成立，又n?n?1n?1n?14当且仅当n=3时，n?取最小值5， 所以λ的取值范围是(-∞，5] …10分

n?1

5