内容发布更新时间 : 2025/12/10 12:28:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，EA1⊥AB，
又∵面ABC⊥面ABB1A1，面ABC∩面ABB1A1=AB，∴EC⊥面ABB1A1，∴EC⊥EA1，
∴EA，EC，EA1两两相互垂直，以E为坐标原点，EA的方向为x轴正方向，|EA|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系O?xyz，
有题设知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(－1,0,0),则BC=（1,0，3）,BB1=AA1=(－1,0,3),A1C=(0,－3,3), ……9分 设n=(x,y,z)是平面CBB1C1的法向量，
???n?BC?0?x?3z?0则?，即?，可取n=（3，1，-1）， ???n?BB1?0?x?3y?0∴cosn,A1C=
n?A1C10，
|n||A1C|510. ……12分 5∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为
【2014】
12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
A.62 B.42 C.6 D.4
【答案】：C
【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥D?ABC， 其中AB?BC?4,AC?42,DB?DC?25，DA??42?2?4?6，故最长的棱的长度为DA?6，选C
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19. (本小题满分12分)如图三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB?B1C. (Ⅰ) 证明：AC?AB1；
o（Ⅱ）若AC?AB1，?CBB1?60，AB=BC
求二面角A?A1B1?C1的余弦值.
【解析】：(Ⅰ)连结BC1，交B1C于O，连结AO．因为侧面
BB1C1C为菱形，所以B1C?BC1故B1C?AO又 B1O?CO，故
，且O为B1C与BC1的中点．又AB?B1C，所以B1C?平面ABO，
AC?AB1 ………6分
（Ⅱ）因为AC?AB1且O为B1C的中点，所以AO=因为AB=故OA⊥
，所以?BOA??BOC
，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．
又
以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz． 因为
?CBB1?600，所以?CBB1为等边三角形．又AB=
，则
???3?3?3?A??0,0,3??，B?1,0,0?，B1??0,3,0??，C??0,?3,0?? ?????????33?3?3?AB1??0,,?AB?AB?1,0,?,BC?BC??1,?,0?， ????1111?3?????3?3?3????设n??x,y,z?是平面的法向量，则
??n???n?33y?z?0?AB1?0?33，即? 所以可取n?1,3,3
A1B1?0?x?3z?0?3?????mA1B1?0设m是平面的法向量，则?，同理可取m?1,?3,3
??nB1C1?0??则cosn,m?nmnm?11，所以二面角A?A1B1?C1的余弦值为. 77第7页 共15页
【2015】
（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【答案】B 【解析】
11611162320设圆锥底面半径为r，则?2?3r?8=r?，所以米堆的体积为??3?()?5=，故堆放的
434339320米约为÷1.62≈22，故选B.
9（12）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20?，则r=
（A）1（B）2（C）4（D）8
【答案】B 【解析】
由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为
1?4?r2??r?2r??r2?2r?2r=5?r2?4r2=16 + 20?，解得r=2，故选B. 2
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E
(18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°， E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD， DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
A (1)证明：平面AEC⊥平面AFC
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值
（18）解：
（I）连结BD，设BD
AC=G，连结EG，FG，EF.
F D
B
C
在菱形ABCD中不妨设GB=1.由?ABC=120°，
可得AG=GC=3.由 BE?平面ABCD, AB=BC可知AE=EC. 又AE?EC，所以EG=3，且EG?AC.在Rt?EBG中， 可得BE=2故DF=
26.在Rt?FDG中，可得FG=. 222， 2在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=
可得FE=又AC32.从而EG2?FG2?EF2,所以EG?FG 2FG?G,可得EG?平面AFC.因为EG?平面AEC
所以平面AEC?平面AFC
（I） 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，
GB为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.
2?3,0),E(1，0，2),F(?1，0，),C(0，3,0)所以 由（I）可得A(0，2第9页 共15页
AE?(1，32),CF?(?1，3,AE?CF32??. ).故cosAE,CF?32AE?CF3. 3所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为
【2016】
（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是
28π，则它的表面积是3[来源:Z+xx+k.Com]
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
【答案】A 【解析】
由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
77428π13是一个球被切掉左上角的,即该几何体是个球，设球的半径为R，则V??πR?，解得
8883373722R?2，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和,即?4π?2??π?2?17π，故
884选A．
α//平面CB1D1，αI平面ABCD=m，αI平面ABB1 A1=n，（11）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，
则m，n所成角的正弦值为
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