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高考数学精品复习资料

2019.5

9.12 球

●知识梳理

1.到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫做球，到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面.过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离.

2.平面截球所得的截面是圆.

3.S球=4πR2；V球=

4πR3. 3●点击双基

1.下列四个命题中错误的个数是 ．．

①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长

A.0 B.1 C.2 D.3 解析：①③错误. 答案：C

2.（2004年江苏，4）一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm，则该球的体积是

416?3π208π100π500π

cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3

3333答案：C

3.若三球的半径之比是1∶2∶3，那么半径最大的球体积是其余两球体积和的_______

A.倍.

A.4 B.3 C.2 D.1 解析：三球体积之比为1∶8∶27. 答案：B

4.（2004年北京，理11）某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm，该地球仪的半径是_____________cm，表面积是_____________cm2.

解析：如图所示，

rR30o ∵2πr=12π，∴r=6（cm）. 设地球仪半径为R，则

r6==sin60°. RR∴R=43（cm），

表面积S=4πR2=192π（cm2）. 答案：43 192π

5.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是

A.202π

B.252π

C.50π

D.200π

解析：设球的半径为R，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=答案：C ●典例剖析

52.∴S球=4π×R2=50π. 2【例1】 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为

A.43

B.23

C.2

D.

1，经过这363

解法一：过O作OO′⊥平面ABC，O′是垂足，则O′是△ABC的中心，则O′A=r=2，

π，OA=OC知OA=AC<2O′A.其次，OA是Rt△OO′A的斜边，故OA>O′3A.所以O′A

又因为∠AOC=θ=

解法二：在正三角形ABC中，应用正弦定理，得AB=2rsin60°=23.

π，所以侧面AOB是正三角形，得球半径R=OA=AB=23. 33解法三：因为正三角形ABC的外径r=2，故高AD=r=3，D是BC的中点.

211π在△OBC中，BO=CO=R，∠BOC=，所以BC=BO=R，BD=BC=R.

2231在Rt△ABD中，AB=BC=R，所以由AB2=BD2+AD2，得R2=R2+9，所以R=23.

4特别提示

因为∠AOB=θ=

1.本题以球为载体考查了直线的关系、解三角形等知识，将空间图形的计算转化为平面图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的使用，并运用方程的思想.

2.正确区别球面上两点之间的直线距离与球面距离；计算A、B两点间的球面距离关键是搞清纬度、经度、经度差、纬度差等概念，具体步骤是：

（1）计算线段AB的长度；

（2）计算A、B到球心O的张角；

（3）计算球大圆在A、B两点间所夹的劣弧长. 【例2】 已知球的两个平行截面的面积分别为49π、400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积.

剖析：先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面，再根据球的性质和已知条件列方程求出球的半径.注意：由于球的对称性，应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的

同侧或异侧的情形，加以分类讨论.

解：下图为球的一个大圆截面.

O1O2OAB

π·O1A2=49π， 则O1A=7.

又π·O2B2=400π， ∴O2B=20.

（1）当两截面在球心同侧时，OO1－OO2=9=R2?72－R2?202，解得R2=625，S球=4πR2=2500π.

（2）当两截面在球心异侧时，OO1+OO2=9=R2?72+R2?202，无解. 综上，所求球的表面积为2500π. 特别提示

球的截面的性质是解决与球有关的问题的重要一环，特别是有关球的计算问题中，R2=d2+r2（R、r、d分别表示球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离）起着重要的作用.

【例3】 已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?

解：下图为轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，

Oh2BCRA 则（

h222）＋r=R， 2即h=2R2?r2.

∵S=2πrh=4πr·R2?r2 =4π

r2?(R2?r2)

(r2?R2?r2)222

=2πR，取等号时，内接圆柱底面半径为R，高为2R. 22≤4π

●闯关训练

夯实基础

1.（2004年全国Ⅱ，7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间