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2006届清华大学自主招生数学试题

1．求最小正整数n，使得I?(?2005年11月28日

12123i)n为纯虚数，并求出I．

2．已知a、b为非负数，M?a4?b4,a?b?1，求M的最值． 3．已知

sin?、cos?sin?、sin?、cos?为等差数列，sin?、为等比数列，求

1cos2?的值． 24．求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积． cos2??5．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数． 6．

y?x2上一点P(非原点)，在P 处引切线交x、y轴于Q、R，求

PQPR．

7．已知f(x)满足：对实数a、b有f(a?b)?af(b)?bf(a)，且f(x)?1，求证f(x)恒为零．

(可用以下结论：若limg(x)?0,f(x)?M，M为一常数，那么lim(f(x)?g(x))?0)

x??x??8．在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC和BD的最大值，并证明．沁园春·雪 <毛泽东>

北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；

大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，

欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；

唐宗宋祖，稍逊风骚。一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。