内容发布更新时间 : 2024/11/9 3:08:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

感悟数学期望在实际生活中的应用

离散型随机变量的期望是离散型随机变量的重要的数字特征，它从整体上描述随机变量，反映了随机变量取值的平均水平，在实际生活中有着广泛的应用。以下几例，供参考：

例1 据统计一个家庭中万元以上的财产被盗的概率是0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元（a?100）。

问a如何确定，可使保险公司有望获利？

分析：要使保险公司获利，即E(X)?0，从而将问题转化为利用不等式求a的取值范围。

100?a，解析：设X表示保险公司在参加保险人身上的收益，则X的可能取值是100，

P(X?100)?0.99； P(X?100?a)?0.01。

E(X)?100?0.99?(100?a)?0.01?100?0.01a?0， ∴a?10000，

又∵a?100，∴100?a?10000，即当a在100至10000之间取值时保险公司可望获利。

评注：该例与生活密切相关，由此可深切体会到数学期望的应用价值。

例2 某渔船要对下月是否出海做出决策，如果出海后遇到好天气，可收益6000元，如果出海后天气变坏，将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费。据气象部门预测，下月好天气的概率是0.6，天气变坏的概率是0.4，请你为该船做出决定，是出海还是不出海？

分析：船是出海还是不出海，关键是要看船出海的收益平均值与不出海的收益平均值

?1000的大小。

解析：设该船一次出海的收益为随机变量X，则其分布列为：

X P 6000 0.6 ?8000 0.4 ∴E(X)?6000?0.6?(?8000)?0.4?400。 ∵E(X)?400??1000，∴应该选择出海。

评注：“出海”还是“不出海”，是将实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题，数学期望反映了随机变量取值的平均水平，用它来刻画、比较措施取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值。

例3 某商场准备在春节期间举行促销活动，对选出的A商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品价格的基础上将价格提高180元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金。假设顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的，请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利？

分析：随机变量的均值与方差在一些风险与决策问题中有着重要的应用。

解析：假设商场中奖奖金数额定为x元，则顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量X，其所有可能的取值为：0，x，2x，3x。X?0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以P(X?0)?(0.5)3?0.125。

1 同理可得：P(X?x)?C3?0.5?0.52?0.375； 2 P(X?2x)?C3?0.52?0.5?0.375；

P(X?3x)?0.53?0.125。

则顾客在三次抽奖中所获得奖金总额的期望值为

E(X)?0?0.125?x?0.375?2x?0.375?3x?0.125?1.5x，

要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额，因此应有1.5x?180，所以x?120。

故商场应将中奖奖金数额最高定为120元，才能使促销方案对自己有利。 评注：解决该类问题时要注意正确地求出随机变量的各个取值以及相应的概率。