内容发布更新时间 : 2024/12/22 16:50:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

∴丨PM丨2=x2﹣4x+4+4﹣

=x﹣4x+8=（x+）+，

，

∴当x=﹣时，丨PM丨取最小值，最小值为∴当x=﹣，解得：y=±∴|PM|的最小值

，

，P点的坐标（﹣，±）．

20．设函数f（x）=x2+alnx（a＜0）．

（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）设g（x）=x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，即有a的方程，解方程可得a的值；

（2）求出函数的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；

（3）令F（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论a的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可

第21页（共23页）

【解答】解：（1）函数f（x）=x2+alnx的导数为f′（x）=x+， 由函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为， 可得2+=，解得a=﹣3；

（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）=

，

，

当a＜0时，f′（x）=当0＜x＜当x＞

时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减； 时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

，+∞），减区间是（0，

）；

综上，当a＜0时，f（x）的增区间是（

（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x2+（1﹣a）x =﹣x2+（1﹣a）x+alnx，x＞0， 问题等价于求函数F（x）的零点个数． 当a≤﹣1时，F′（x）=﹣x+1﹣a+=﹣由a=﹣1时，F′（x）≤0，F（x）递减，

由F（3）=﹣+6﹣ln3=﹣ln3＞0，F（4）=﹣8+8﹣ln4＜0， 由零点存在定理可得F（x）在（3，4）内存在一个零点；

当a＜﹣1时，即﹣a＞1时，F（x）在（0，1）递减，（1，﹣a）递增，（﹣a，+∞）递减，

由极小值F（1）=﹣+（1﹣a）+aln1=﹣a＞0，

极大值F（﹣a）=﹣a2+a2﹣a+aln（﹣a）=a2﹣a+aln（﹣a）＞0， 由x→+∞时，F（x）→﹣∞， 可得F（x）存在一个零点．

综上可得，当a≤﹣1时，f（x）与g（x）图象交点的个数为1．

，

第22页（共23页）

2017年4月2日

第23页（共23页）