内容发布更新时间 : 2024/6/2 13:26:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

的值．

本题考查了等比数列，等差数列的定义和性质，考查构造法求数列的通项公式，分类讨论思想，综合性强，属于难题．

21.答案：解：（1）∵D（-4，2），∴2p=4，∴p=2，曲线方程为y2=4x， 2即y=±

，y′=±．

设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1＞0，y2＜0，则x1=，x2=， ∴切线PA的斜率为=，切线PB的斜率为-=，

故切线DA的方程为：y-y1=（x-x1），即y1y=2x-2x1+y12=2x+2x1， 切线DB的方程为：y2y=2x+2x2， ∵D（-4，2）在两切线上，∴

，

故A，B都在直线2y=-8+2x，即x-y-4=0上， ∴直线AB的方程为x-y-4=0， 联立方程组∴|AB|=

又D到直线AB的距离为d=∴S△DAB=

=

．

，消元得：x2-12x+16=0，∴x1+x2=12，x1x2=16，

=4

． =5

，

（2）证明：如下图所示，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AD的方程为y1y=p（x+x1）， 即

，同理可得直线BD的方程为

，

联立直线AD和BD的方程，解得，

由于点D的纵坐标为y0，所以，，即y1+y2=2y0；

（3）设N（x3，y3），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由题意得M（x1+x2，y1+y2），

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则MN的中点Q坐标为（kAB=

=

=，

，），

设直线AB的方程为y-y1=（x-x1）， 由点Q在直线AB上，并注意到点（代入得y3=x3．

若N（x3，y3）在抛物线上，则y32=2px3， 因此y3=0或y3=2y0． 即N（0，0）或N（

，2y0）．

，

）也在直线AB上，

①当y0=0时，则y1+y2=2y0=0，此时，点D（-2p，0）适合题意． ②当y0≠0，对于N（0，0），此时M（kMN=又kAB=

==， =，

，2y0），

由MN⊥AB， 所以kAB?kMN=?

=-1，

即y12+y22=-4p2，矛盾． 对于N（因为M（

，2y0）． ，2y0），

此时直线MN平行于y轴， 又kAB=，

所以直线AB与直线MN不垂直，与题设矛盾， 所以y0≠0时，不存在符合题意的D点．

综上所述，仅存在一点D（-2p，0）适合题意．

解析：（1）求得抛物线方程，求得导数和切线斜率，可得切线方程，求得AB的方程和距离，由三角形的面积公式，可得所求值； （2）求得AD，BD的方程和交点，即可得证；

（3）设N（x3，y3），A（x1，y1），B（x2，y2），结合向量的坐标表示和（2）的结论，以及中点坐标公式和抛物线方程，可得N的坐标，讨论y0是否为0，结合题意，可得所求D的坐标．

本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，以及向量的坐标表示，考查分类讨论思想和化简整理的运算能力，属于难题．

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