内容发布更新时间 : 2024/5/4 23:20:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第11章 机械振动
11-1简谐振子的振动表式为 x?4cos?0.1t?0.5?m。（1）求振动的振幅、周期、频率和初相位；（2）求振动速度和加速度的表达式；（3）求t?5s时的位移、速度和加速度。
2π2π??20π?s?,?0?0.5rad 解 （1） A?4m,T??0.1dx??0.4sin?0.1t?0.5?m/s （2） ??dt
d2x??0.04cos?0.1t?0.5?m/s2 a?2dt （3） x?5??4cos?0.1?5?0.5??2.16(m)
?5???0.4sin?0.1?5?0.5???0.337(m/s)
?5???0.04cos?0.1?5?0.5???0.0216?m/s2?
? a11-2有一个和轻弹簧相连的小球，沿x轴作振幅为A的简谐振动，其表达式用余弦函数表示。若t=0时，球的运动状态为（1）x0＝A；（2）过平衡位置向x轴正方向运动；（3）过x=A/2处向x负方向运动；（4）过
x?A处向x正方向运动，试分别用矢量图示法和式（11-8）确定相应的初相?0的值，并写出振2动表达式。
解 （1）由 x0 （2）由x0（3）由x0
?0?o?Aπ3?A,?0?0 得 ?0?0x?Acos?t
?0,?0?0 得 ?0??π/2x?Acos??t?π/2??A,?0?0得 ?0?π/3x?Acos??t?π/3?2?0??o?1??Ax?Aox?0???2?π2xo?0?π4x?3? 习题11-2解用图
?4??A（4）由
x0?A,?0?0得 ?0??π/4.x?Acos??t?π/4?2旋转矢量图确定初相?0如解图所示。
11-3 已知某质点做简谐振动的曲线x?t如图所示，试根据图推导出该质点的振动表达式。
解 设简谐振动表式为x习题11-3图
x/(10?2m)?A1t?1t/s
O ?A0?π3π3xt?0习题11-3解用图
?Acos(?t??0) 从图可知 A?0.04m
当t?0时，x0?0.02m 由此 0.04cos?0?0.02，???0π
3又?0??A?sin?0?0 ,所以?0?0，即 ???π
03由t?1s，x?1??0.02m得 cos(??1?π)?1，??1?π??π
3233π)?0，所以??1?π?0，??1?π?π，即??2π 33333??如利用旋转矢量法确定?,如解图,t?0和t?1时所对应的旋转矢量为A0和A1,从而有
又因为??1???A?sin(??1???1?质点的振动表达式为 xπ?π?2π。
????,即??3?3?32ππt?)m 33?0.04cos(11-4 如图所示的弹簧振子，已知弹簧的劲度系数k, 物体的质量M，与水平支承面光滑接触。开始时弹簧为原长，物体处于静止状态。一质量为m的物体以沿负x方向的速度?飞向物体M，两者结合在一起作简谐振动。求谐振动表达式。
解 设简谐振动表达式为x对于M、
?Acos(?t??0)
m与弹簧系统
km?M
习题11-4图
?? 根据题意列出初始条件
t?0,x0?0
M与
m的作用过程，动量守恒
?m?M??0??m? ?0??m?M?02m?得 A?x?2?
?k(m?M)20m?
物体处于平衡位置且向负方向运动，所以
?0?π 2谐振动表达式 x 11-5 一个单摆的摆长l右的水平冲量I??m?kπ?cos?t? ???2?k(m?M)?m?M?1m，摆球质量m?0.01kg。开始时处在平衡位置。（1）若给小球一个向
?2.5?10-3kg.m/s。设摆角向右为正，如以刚打击后为t=0,求振动的初相位、角幅、
振幅，写出振动表达式；（2）若冲量是向左的，再写出振动表达式。
解（1）设振动表达式为 ???mcos??t??0?
??g?9.8/s l根据题意列出初始条件 t由 I?0?0?0
?m? 得小球对悬挂点的角动量为m?l?Il
即 Jd?d?IlIlI?m?l?Il ??2?dt0dt0Jmlml2
?Iml2于是 ?m??0???g/l??I2.5?10?3???8?10?2?rad? ??mgl0.019.8?π t?0 物体处于平衡位置且向正方向运动，所以 ?0??
2振幅 lm??ml?8?10?2m
振动表达式 ?π???8?10?2cos?9.8t??rad
2??（2） 初始条件为 t?0?0?0
d??Il?Il?I??2?dt0Jmlml
得?m不变，?0?ππ???2 ??8?10cos?9.8t??rad 22??11-6用匀质杆做成一复摆，转轴在杆的端点且与杆垂直，杆长为L。求（1）该复摆作简谐振动的周期；（2）若将其向右拉开一小角度?0，然后让其摆动，求出其振动表达式。
解 （1）复摆周期公式 T?2πJ， mgb对匀质杆 J1L?mL2,b? T?2π322L3g （2）取竖直方向为参考方向，角度向右为正，设振动表达式为
???mcos???3g? t??0???2L?
??2π3g?T2Ld?dtt?0时 ?0??mcos?0,
由此得 ?m????msin?0?0
t?0??0,?0?0
3gt 2L振动表达式为 ???0cos11-7一弹簧振子由劲度系数为k的弹簧和质量为M的物块组成，将弹簧一端与顶板相连，如图所示，开始时物块M静止，一颗质量为m、速度为?0的子弹由下而上射入物块并留在物块中，取弹簧、物块、子弹整个系统平衡时物块的位置为坐标原点，向上为正上向，列出初始条件，从此决定初相、振幅，并写出振动表达式。
解 设简谐振动表式为x?Acos(?t??0)
??km?M相对于整个系统平衡时，物块的位置 t=0, x0''?m?0??M?m??0 ?0?mgk
?0习题11-7图
m?0
M?m '2??0?k?0mg2于是 A?x0??1???2?km?Mg????2'x0?0 ?0?0 所以?0在第四象限
'??0??0??0??arctan???arctan???g?x?0??km?M??? ?2?k?0mg??0kx?1??cost?arctan?2?gk?m?M?g?m?M??km?M???? ????11-8 如图所示，物体的质量为m，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为?，弹簧的倔强系数为
k，滑轮的转动惯量为J，半径为R，轴处光滑．先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试
证明物体作简谐振动，并求振动周期．
证 分别以物体m和滑轮为对象，其受力如解图所示（滑轮轴处受力未画出，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，此时弹簧伸长量为h，有
习题11-8图
习题11-8解用图
mgsin??kh h?mgsin?/k
沿斜面向下为x轴正向，则当重物偏离原点的坐标为x时，有
d2x对m mgsin??T1?m （1） 2dt对滑轮 T1?R?T2R?J? （2）
d2x?R? T1??T1 T2?k(h?x) （3） 2dtJd2x联立以上三式，有 (mR?)2??kxR
RdtkR2令 ??mR2?J2
d2x2??x?0 则有 2dtmR2?J故知该系统是作简谐振动，其振动周期为 T??2π?kR22π11-9 一弹簧振子由劲度系数为k简谐振动，振幅为
?2.0N/m的弹簧和质量为M?0.50kg的物块组成。该系统作
A?0.20m。（1）当动能和势能相等时，物体的位移是多少？（2）设t?0时，物体
在正最大位移处，达动能和势能相等处所需的最短时间是多少？