内容发布更新时间 : 2024/11/1 23:34:06星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1、行列式
1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质：
①、Aij和aij的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)i?jAij4. 设n行列式D：
将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)n(n?1)2Aij?(?1)i?jMij
D； D；
将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2?(?1)n(n?1)2将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)n(n?1)2；
③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； ④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)⑤、拉普拉斯展开式：
AOCB?ACOBn(n?1)2；
CABO?OABC?(?1)mnAB?AB、
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6.
对于n阶行列式A，恒有：?E?A????(?1)kSk?n?k，其中Sk为k阶主子式；
nk?1n7. 证明A?0的方法：
①、A??A； ②、反证法；
③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1. A是n阶可逆矩阵：
?A?0（是非奇异矩阵）； ?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组Ax?0有非零解；
??b?Rn，Ax?b总有唯一解； ?A与E等价；
?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为
0；
?ATA是正定矩阵；
?A的行（列）向量组是Rn的一组基；
?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立； 3. (A?1)*?(A*)?1(AB)T?BTAT(A?1)T?(AT)?1(A*)T?(AT)*
(AB)*?B*A*(AB)?1?B?1A?1
4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
?A1?若A?????A2???，则： ??As?AsⅠ、A?A1A2?A1?1??1、A???????1；
???； ??As?1??O??；（主对角分块） B?1?B?1??；（副对角分块） O??A?1CB?1??；（拉普拉斯） B?1?Ⅱ
?1A2?A?1?AO?②、????OB???O?O?OA??③、???1??BO??A?A?1?AC?④、????OB???O?1?1?A?1?AO?⑤、?????1?1CB????BCA?1O??；（拉普拉斯） B?1?3、矩阵的初等变换与线性方程组
1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F???Er?OO? ?；O?m?n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????AB； 2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、
若(A?,?E)??(E?,?X)，则A可逆，且X?A?1；
crr②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)； ③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且x?A?1b； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
??1?②、???????2???，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元素； ii???n??1?1??1????③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)?1?E(i,j)，例如：??1???1?；
??1?1??????1?1?1??11?????E(i())，例如：?k??kk??1?????1④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))?1???(k?0)； ?1??k??k??1?1????⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：?1???1 ?(k?0)；
??1?1?????5. 矩阵秩的基本性质：
①、0?r(Am?n)?min(m,n)； ②、r(AT)?r(A)；