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如何用最大公约数和最小公倍数解决常见的问题
作者：李小玲
来源：《教育教学论坛》2012年第40期
摘要：数学教学中，创设数学学习情境方法有多种多样，为了增强学生们的求知欲望，激发他们的学习兴趣，我常常结合生活实际进行数学教学。因为数学源于生活，用于生活。因此，教学中有许多内容需要结合日常生活、生产中需要解决的实际问题让学生理解后解答。 关键词：最大公约数；最小公倍数；问题解决
中图分类号：G633.6 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2012）11-0101-02 在平时的教学中，起初学生在没有理解最大公约数和最小公倍数的意义时，就会产生困惑，还有些数学应用题，不具备常规的解题条件，在解答时会感到无从下手，因为这类题的特点是没有直接告诉求最大公约数还是求最小公倍数，而是让你对题意的条件与问题通过阅读做出全面的分析，找出几个关键性的词，比如：最长（或最多）是多少，最少、最短（或至少）是多少等等，才能发现数量之间的关系，才能找到解决问题的途径。新课标设计理念强调数学与人类的活动密切相关，数学更加广泛地应用于生产和生活的各个方面。“最大公约数”和“最小公倍数”的用途与日俱增。例如：在做手工时把不同长短的几根木条截成长短相同的木条，还不能有剩余；又如两辆公交车同时同地发车，经过多长时间两车又相遇了；还有常见的在装修房间时要将长方形瓷砖铺成一块正方形瓷砖地板，至少要用多少块瓷砖；人数不同的教学班，分成人数相等的小组，等等。用“最大公约数”与“最小公倍数”的含义去解决这些实际问题时就会变得容易许多，同时会收到较好的效果。下面举几例加以分析。 一、用最大公约数解决日常实际问题
例1.同学们用长28分米、42分米、56分米的三种颜色的彩条，截成同样长的小段，围成一个学习园地，不能有剩余，问每段最长多少分米？
分析：要求截成的彩条的长度都相等，必须找出28、42和56的最大公约数，因为问题是“每段最长多少分米”，所以就是要求28、42和56这三个数的最大公约数。 解答：每段最长为多少分米为：[28、42、56]=14（分米）
例2.木工师傅要从长28厘米、宽42厘米、高56厘米的长方体木块中，截出15块尽可能大的正方体木块。请帮木工师傅算一算，这个木块够截吗？
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分析：根据题意可知首先要算出最多能锯成同样大小的木块多少？这就首先求出长方体木块的长、宽、高的公约数；题中还要求尽可能大的正方体，所以截成的正方体的棱长应该为长方体木块的长、宽、高的最大公约数。一旦求出长方体木块的长、宽、高各锯成的份数，就可以求出锯成的块数。最后与15比一比便可知晓够不够截了。
正方体木料的棱长为[28、42、56]=14（厘米），锯成正方体的块数为（28÷14）×（42÷14）×（56÷14）=2×3×4=24（块） 因为，24>15所以能截出15块
例3.现有252个红球，396个篮球，468个黄球，把它们分别装在若干个袋子里，要求每个袋子里都有红、蓝和黄三种颜色的球，而且每个袋子里的红球数相等，篮球数相等，黄球数相等，问最多需要袋子多少个？每个袋子里各有红球、篮球和黄球多少只？
分析与解答：要求最多需要袋子多少个，实际上是求每个袋子中最多能装相同数量的三种球各为多少只。因为252=2×2×3×3×7=36×7；396=2×2×2×3×11=36×11；
468=2×2×3×3×13=36×13，因此可得，最多需要袋子36个。每只袋子里有红球7只，篮球11只，黄球13只。
二、用最小公倍数解决日常实际问题
例题1.五年级二班表演广播操。每行6人、8人或9人都正好排完，五年级表演广播操的学生至少有多少人？
分析与解答：根据题意可知，表演广播操的人数必须是6、8和9的公倍数，要求学生至少有多少人，所以是求6、8和9的最小公倍数。 表演广播操的学生人数至少有[6、8、9]=72（人）
例2.用长方体石料堆积成一个正方体，长方体的长32厘米、宽12厘米、高24厘米。至少需要这种长方体石料多少块？
分析：用长方体石料堆成一个正方体，这个正方体的棱长分别是长方体石料的长、宽、高的倍数。因为题目中要求堆成一个最小的正方体，所以正方体的棱长是长方体石料的长、宽、高的最小公倍数。因此正方体的棱长分别包含长方体的长、宽、高的份数，这样就可以求出长方体石料的块数了。
解答：堆成的正方体的棱长为[32、12、24]=96（厘米），长方体石料的块数就为（96÷32）×（96÷12）×（96÷24）=3×8×4=96（块）
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例3.甲、乙、两艘轮船都来往于上下两港之间，每往来一次，甲需要6天，乙需要8天，两轮船同日同时从上港出发后，两船相遇最少需要几天？
分析：甲船和乙船同日同时开船，以后同时开船时，所经过的时间必须是6天的倍数，同时又是8天的倍数。因为题目中要求至少再经过多少天又同时开船，所以是求6和8的最小公倍数。
解答：再次两船相遇最少需要的天数为：[6、8]=24（天）
例4.一间屋子的地面是正方形的，需要用长50厘米，宽26厘米的长方形瓷砖，来铺这间屋子，至少要用多少块瓷砖？
分析：用长方形瓷砖铺一个正方形地面，这个正方形地面的边长分别是长方形瓷砖的长、宽的倍数，因为问题是至少要用多少块瓷砖？所以正方形地面的边长是长方形瓷砖的长、宽的最小公倍数。
解答：铺成一个最小的正方形瓷砖边长为：[50、26]=650（厘米）长方形瓷砖的块数是：（650÷50）×（650÷26）=13×25=325（块）
通过以上举例我们可以看出在实际生活中最大公约数与最小公倍数应用题用途比较广泛；也可以看出用这两种方法打开了用其他解题方法无济于事的“心结”，拓展了孩子们更多的解题思路；还可以看出学生将课堂上、书本里所学到的理论知识与生活实际相结合，才能使课堂教与学变得生动、鲜活起来，也只有通过自己亲身经历这个学习过程，才能提高学生对知识的迁移能力。学生虽小，但是通过这样的学习让他们懂得了，数学与生活、生产是相互依存的，数学源于生活，而生活又促使了数学的不断发展，才能实现数学与生活的紧密联系，同时使学生学会用数学的眼光观察生活中的一切，从而体验数学的真正价值。