内容发布更新时间 : 2024/12/23 10:37:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

（2）解：（?x）(?y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(?!z)(L(z)∧R(x,y,z)))

或 （?x）(?y)((P(x)∧P(y)∧┐E(x,y)→(?z)(L(z)∧R(x,y,z) ∧┐(?u)(┐E(z,u) ∧L(u)∧R(x,y,u)))) （3）解：

a) 设N(x):x是有限个数的乘积。 z(y):y为0。

P(x):x的乘积为零。 F(y):y是乘积中的一个因子。

则有 (?x)((N(x)∧P(x)→(?y)(F(y)∧z(y)))

b) 设R(x):x是实数。Q(x,y):y大于x。 故 (?x)(R(x)→(?y)(Q(x,y)∧R(y))) c) R(x):x是实数。G(x,y):x大于y。 则 (?x)(?y)(?z)(R(x)∧R(y)∧R(z)∧G(x+y,x·z)

（4）解：设G(x,y):x大于y。则有 (?x)(?y)(?z)(G(y,x) ∧G(0,z)→G(x·z,y·z)) （5）解：设N(x):x是一个数。 S(x,y):y是x的后继数。E(x,y)：x=y.则

a) (?x)(N(x)→(?!y)(N(y)∧S(x,y)))

或(?x)(N(x)→(?y)(N(y)∧S(x,y) ∧┐(?z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(x,z)))) b) ┐(?x)(N(x)∧S(x,1))

c) (?x)(N(x)∧┐S(x,2)→(?!y)(N(y) ∧S(y,x)))

或(?x)(N(x)∧┐S(x,2)→(?y)(N(y) ∧S(y,x) ∧┐(?z)(┐E(y,z) ∧N(z)∧S(z,x)))) （6）解：设S(x):x是大学生。 E(x):x是戴眼睛的。

F(x):x是用功的。 R(x,y):x在看y。

G(y):y是大的。 K(y):y是厚的。 J(y):y是巨著。 a:这本。 b:那位。 则有 E(b)∧F(b)∧S(b)∧R(b,a)∧G(a)∧K(a)∧J(a) （7）解：设P(x,y):x在y连续。 Q(x,y):x>y。则

P(f,a)?((?ε)(?δ)(?x)(Q(ε,0)→(Q(δ,0)∧Q(δ,|x-a|)→Q(ε,|f(x)-f(a)|))))

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习题2-4

(1) 解：a) x是约束变元，y是自由变元。

b) x是约束变元，P(x)∧Q(x)中的x受全称量词?的约束，S(x)中的x受存在量词?的约束。

c) x，y都是约束变元,P(x)中的x受?的约束，R(x)中的x受?的约束。 d) x，y是约束变元，z是自由变元。 (2) 解：a) P(a)∧P(b)∧P(c)

b) R(a)∧R(b)∧R(c)∧S(a)∧S(b)∧S(c) c) (P(a)→Q(a))∧(P(b)→Q(b))∧(P(c)→Q(c) d) (┐P(a)∧┐P(b)∧┐P(c))∨(P(z)∧P(b)∧P(c)) e) (R(a)∧R(b)∧R(c))∧(S(a)∨S(b)∨S(c)) (3) 解：

a) (?x)(P(x)∨Q(x))?(P(1)∨Q(1))∧(P(2)∨Q(2))， 但P(1)为T，Q(1)为F，P(2)为F，Q(2)为T,所以 (?x)(P(x)∨Q(x))?(T∨F)∧(F∨T)??T。

b) (?x)(P→Q(x))∨R(a)? ((P→Q(?2))∧(P→Q(3))∧(P→Q(6)))∨R(a) 因为P 为T，Q(?2)为T，Q(3)为T，Q(6)为F，R(5)为F，所以 (?x)(P→Q(x))∨R(a)? ((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F? F (4) 解：a) (?u)(?v)(P(u，z)→Q(v))?S(x，y)

b) (?u)(P(u)→ (R(u)∨Q(u))∧(?v)R(v))→(?z)S(x,z)

(5) 解：a) ((?y)A(u，y)→(?x)B(x，v))∧(?x)(?z)C(x，t，z) b) ((?y)P(u，y)∧(?z)Q(u，z))∨(?x)R(x，t)

习题2-5

（1）解： a) P(a,f(a))∧P(b,f(b))?P(1,f(1))∧P(2,f(2))?P(1,2)∧P(2,1)??T∧F?F

b) (?x)(?y)P(y,x)? (?x) (P(1,x)∨P(2,x))? (P(1,1)∨P(2,1))∧(P(1,2)∨P(2,2))

? (T∨F)∧(T∨F)?? T

c) (?x)( ?y)(P(x,y)→P(f(x),f(y)))??

? (?x) ((P(x,1)→P(f(x),f(1)))∧(P(x,2) →P(f(x)f(2)))) ? (P(1,1)→P(f(1),f(1)))∧(P(1,2)→P(f(1),f(2))) ∧(P(2,1)→P(f(2),f(1)))∧(P(2,2) →P(f(2),f(2)))

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? (P(1,1)→P(2,2))∧(P(1,2)→P(2,1))∧(P(2,1)→P(1,2))∧(P(2,2)→P(1,1)) ? (T→F∧(T→F)∧(F→T)∧(F→T)?F∧F∧T∧T?F （2）解：a) (?x)(P(x)→Q(f(x),a))??

?(P(1)→Q(f(1),1))∧(P(2)→Q(f(2),1)) ? (F→Q(2,1))∧(T→Q(1,1))??? (F→F)∧(T→T)??T b) (?x)(P(f(x))∧Q(x,f(a))??

? (P(f(1))∧Q(1,f(1)))∨(P(f(2))∧Q(2,f(1)) ? (T∧T)∨(F∧F)??T c) (?x)(P(x)∧Q(x,a))

? (P(1)∧Q(1,a))∨(P(2)∧Q(2,a)) ? (P(1)∧Q(1,1))∨(P(2)∧Q(2,1))??? (F∧T)∨(T∧F)??F d) (?x)( ?y)(P(x)∧Q(x,y))??? (?x) (P(x)∧(?y)Q(x,y))??? (?x) (P(x)∧(Q(x,1)∨Q(x,2)))

? (P(1)∧(Q(1,1)∨Q(1,2)))∧(P(2)∧(Q(2,1)∨Q(2,2))) ? (F∧(T∨T))∧(T∧(F∨F))??F

(3) 举例说明下列各蕴含式。

a) ?((?x)(P(x)∧Q(a))? (?x)P(x)??Q(a) b) (?x) (? P(x) ?Q(x)), (?x) ?Q(x)?P(a)

c) (?x) (P(x) ?Q(x)), (?x) (Q(x) ?R(x))? (?x) (P(x) ?R(x)) d) (?x) (P(x) ?Q(x)), (?x) ?P(x)? (?x)Q (x) e) (?x) (P(x) ?Q(x)), (?x) ?P(x)? (?x)Q (x) 解：a）因为?((?x)(P(x)∧Q(a)) ??(?x)P(x)∨?Q(a) 故原式为?(?x)P(x)∨?Q(a) ? (?x)P(x)??Q(a) 设P（x）：x是大学生。Q（x）：x是运动员

前提 或者不存在x，x是大学生，或者a是运动员 结论 如果存在x是大学生，则必有a是运动员。 b)设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是大学生。a：论域中的某人。 前提：对论域中所有x，如果x不是研究生则x是大学生。

对论域中所有x， x不是大学生。 结论：对论域中所有x都是研究生。

故，对论域中某个a，必有结论a是研究生，即P（a）成立。 c）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x曾读过大学。R（x）：x曾读过中学。 前提 对所有x，如果x是研究生，则x曾读过大学。

对所有x，如果x曾读过大学，则x曾读过中学。 结论：对所有x，如果x是研究生，则x曾读过中学。 d）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。

前提 对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。

对所有x，x不是研究生 结论 必存在x，x是运动员。 e）设P（x）：x是研究生。Q（x）：x是运动员。

前提 对所有x，或者x是研究生，或者x是运动员。

对所有x，x不是研究生 结论 对所有x，x是运动员。

（4）证明：(?x)(A(x)→B(x))? (?x) (┐A(x)∨B(x)) ? (?x)┐A(x)∨ (?x) B(x)

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? ┐(?x)A(x)∨(?x) B(x) ? (?x)A(x)→(?x) B(x)

（5） 设论域D={a，b，c}，求证(?x)A(x)∨(?x)B(x)?( ?x)(A(x)∨B(x)) 证明：因为论域D={a，b，c}，所以

(?x)A(x)∨(?x)B(x) ?(A(a) ∧A(b) ∧A(c)) ∨(B(a) ∧B(b) ∧B(c))

?(A(a) ∨B(a)) ∧(A(a) ∨B(b)) ∧(A(a) ∨B(c)) ∧(A(b) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b)) ∧(A(b)∨B(c)) ∧(A(c)

∨B(a)) ∧(A(c) ∨B(b)) ∧(A(c) ∨B(c)) ?(A(a) ∨B(a)) ∧(A(b) ∨B(b))∧(A(c) ∨B(c)) ?( ?x)(A(x)∨B(x))

所以(?x)A(x)∨(?x)B(x)?( ?x)(A(x)∨B(x)) （6）解：推证不正确，因为

┐(?x)(A(x)∧┐B(x))?┐((?x)A(x)∧(?x)┐B(x)) （7）求证(?x)( ?y)(P(x)→Q(y)) ? ( ?x)P(x)→(?y)Q(y) 证明：(?x)( ?y)(P(x)→Q(y)) ?(?x)( ?y)( ┐P(x) ∨Q(y)) ?(?x) ┐P(x) ∨( ?y)Q(y) ?┐(?x)P(x) ∨( ?y)Q(y) ? ( ?x)P(x)→(?y)Q(y)

习题2-6

（1）解：a) (?x)(P(x)→(?y)Q(x,y))

?(?x)( ┐P(x) ∨(?y)Q(x,y)) ?(?x) (?y) (┐P(x) ∨Q(x,y))

b) (?x)(┐((?y)P(x,y))→((?z)Q(z)→R(x))) ?(?x)((?y)P(x,y)∨((?z)Q(z)→R(x))) ?(?x)((?y)P(x,y) ∨(┐(?z)Q(z) ∨R(x))) ?(?x)((?y)P(x,y) ∨((?z)┐Q(z) ∨R(x))) ?(?x) (?y) (?z) ( P(x,y) ∨┐Q(z) ∨R(x))

c)(?x)( ?y)(((?zP(x,y,z)∧(?u)Q(x,u))→(?v)Q(y,v))

?(?x)( ?y)( ┐((?z)P(x,y,z)∧(?u)Q(x,u))∨(?v)Q(y,v)) ?(?x)( ?y)( (?z)┐P(x,y,z) ∨(?u)┐Q(x,u)∨(?v)Q(y,v)) ?(?x)( ?y)( (?z)┐P(x,y,z) ∨(?u)┐Q(x,u)∨(?v)Q(y,v)) ?(?x)( ?y) (?z) (?u) (?v) (┐P(x,y,z) ∨┐Q(x,u)∨Q(y,v)) （2）解：a) ((?x)P(x)∨(?x)Q(x))→(?x)(P(x)∨Q(x))

?┐((?x)P(x)∨(?x)Q(x)) ∨(?x)(P(x)∨Q(x)) ?┐(?x) (P(x)∨Q(x)) ∨(?x)(P(x)∨Q(x)) ?T b) (?x)(P(x)→(?y)((?z)Q(x,y)→┐(?z)R(y,x))) ?(?x)( ┐P(x) ∨(?y)( Q(x,y)→┐R(y,x))) ?(?x) (?y) ( ┐P(x) ∨┐Q(x,y) ∨┐R(y,x)) 前束合取范式

?(?x) (?y)( (P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x)) ∨(P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x)) ∨ (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x)) ∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧R(y,x)) ∨(┐P(x) ∧┐Q(x,y) ∧R(y,x)) ∨( (P(x) ∧┐Q(x,y) ∧┐R(y,x)) ∨(┐P(x) ∧Q(x,y) ∧┐R(y,x)))

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前束析取范式

c) (?x)P(x)→(?x)((?z)Q(x,z)∨(?z)R(x,y,z)) ?┐(?x)P(x) ∨(?x)((?z)Q(x,z)∨(?z)R(x,y,z)) ?(?x)┐P(x) ∨(?x)((?z)Q(x,z)∨(?u)R(x,y,u)) ?(?x)(┐P(x) ∨(?z)Q(x,z)∨(?u)R(x,y,u)) ?(?x) (?z) (?u)(┐P(x) ∨Q(x,z)∨R(x,y,u)) 前束合取范式

?(?x) (?z) (?u)(( P(x) ∧Q(x,z) ∧R(x,y,u)) ∨(P(x) ∧Q(x,z) ∧┐R(x,y,u)) ∨(P(x) ∧┐Q(x,z) ∧R(x,y,u)) ∨(P(x) ∧┐Q(x,z) ∧┐R(x,y,u)) ∨(┐P(x) ∧Q(x,z) ∧┐R(x,y,u)) ∨(┐P(x) ∧┐Q(x,z) ∧R(x,y,u)) ∨(┐P(x) ∧┐Q(x,z) ∧┐R(x,y,u))) 前束析取范式

d)(?x)(P(x)→Q(x,y))→((?y)P(y)∧(?z)Q(y,z))

?┐(?x)( ┐P(x) ∨Q(x,y)) ∨((?y)P(y)∧(?z)Q(y,z)) ?(?x)( P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨((?u)P(u)∧(?z)Q(y,z)) ?(?x) (?u) (?z) (( P(x) ∧┐Q(x,y)) ∨(P(u)∧Q(y,z))) 前束析取范式

?(?x) (?u) (?z) (( P(x)∨P(u)) ∧ (P(x)∨Q(y,z)) ∧(┐Q(x,y)∨P(u)) ∧ (┐Q(x,y)∨Q(y,z))) 前束合取范式

习题2-7 (1) 证明：

(2) a) ①(?x)(┐A(x)→B(x)) P

②┐A(u)→B(u) US① ③( ?x)┐B(x) P ④┐B(u) US③ ⑤A(u)∨B(u) T②E ⑥A(u) T④⑤I ⑦ ( ?x)A(x) EG⑥

b) ①┐( ?x)(A(x)→B(x)) P（附加前提） ②( ?x)┐(A(x)→B(x)) T①E ③┐(A(c)→B(c)) ES② ④A(c) T③I ⑤┐B(c) T③I ⑥( ?x)A(x) EG④ ⑦ (?x)A(x)→(?x)B(x) P

⑧(?x)B(x) T⑥⑦I ⑨B(c) US⑧ ⑩B(c)∧ ┐B(c) T⑤⑨矛盾 c）①(?x)(A(x)→B(x)) P ②A(u)→B(u) US① ③( ?x)(C(x)→┐B(x)) P ④C(u)→┐B(u) US③

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