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2016年上海高考数学（理科）真题
一、解答题（本大题共有14题，满分56分）
1. 设x?R，则不等式x?3?1的解集为________________ 【答案】(2,4)
【解析】?1?x?3?1，即2?x?4，故解集为(2,4)
3?2i2. 设z?，其中i为虚数单位，则Imz?_________________
i【答案】?3
【解析】z??i(3?2i)?2?3i，故Imz??3
3. l1:2x?y?1?0, l2:2x?y?1?0, 则l1,l2的距离为__________________
25 51?125?【解析】d? 2252?1
4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的
中位数是___ （米） 【答案】1.76
5. 已知点(3,9)在函数f(x)?1?ax的图像上，则f(x)的反函数f?1(x)?____________
【答案】【答案】log2(x?1)
【解析】a3?1?9，故a?2，f(x)?1?2x
∴x?log2(y?1)
∴f?1(x)?log2(x?1)
6. 如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的大小
2为arctan，
3则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】22 2【解析】BD?32, DD1?BD??22
3
7. 方程3sinx?1?cos2x在区间[0,2π]上的解为________________
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π5π, 66【解析】3sinx?2?2sin2x，即2sin2x?3sinx?2?0
∴(2sinx?1)(sinx?2)?0
1∴sinx?
2π5π∴x?,
66
【答案】x?2??8. 在?3x??的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于
x??_______________ 【答案】112
【解析】2n?256， n?8
n通项C?xr88?r38?4r2rrr?(?)?C8(?2)?x3
x取r?2
常数项为C82(?2)2?112
9. 已知?ABC的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________
73【答案】
3a2?b2?c21?? 【解析】a?3,b?5,c?7，cosC?2ab23∴sinC?
2c73?∴R? 2sinC3
?ax?y?1x,ya?0,b?010. 设，若关于的方程组?无解，则a?b的取值范围是
?x?by?1_____________ 【答案】(2,??)
【解析】由已知，ab?1，且a?b，∴a?b?2ab?2
11. 无穷数列?an?由k个不同的数组成，Sn为?an?的前n项和，若对任意n?N*，Sn?{2,3}，则k的最大
值为___________ 【答案】4
12. 在平面直角坐标系中，已知A(1,0), B(0,?1), P是曲线y?1?x2上一个动点，则????????BP?BA的取值范围
是____________ 【答案】[0,1?2]
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????????【解析】设P(cos?,sin?), ??[0,π]，BA?(1,1), BP?(cos?,sin??1)
????????πBP?BA?cos??sin??1?2sin(??)?1?[0,1?2]
4
π13. 设a,b,?R, c?[0,2π)，若对任意实数x都有2sin(3x?)?asin(bx?c)，则满足条件的
3有序实数组
(a,b,c)的组数为______________ 【答案】4
【解析】(i)若a?2
5π4π若b?3，则c?； 若b??3，则c?
33π2π(ii)若a??2，若b??3，则c?；若b?3，则c?
33共4组
14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A1A2?A8的中心，A1(1,0)，任取不同的
??????????????A,A两点ij，点P满足OP?OAi?OAj?0，则点P落在第一象限的概率是_______________
5 2855【解析】2?
C828
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15. 设a?R，则“a?1”是“a2?1”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A
16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( ) A. ??6?5cos? B. ??6?5sin? C. ??6?5cos? D. ??6?5sin? 【答案】D
π【解析】???时，?达到最大
2 【答案】
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Sn?S，下列条件中，使得17. 已知无穷等比数列?an?的公比为q，前n项和为Sn，且limn??
2Sn?S(n?N*)恒成立的是( )
A. a1?0, 0.6?q?0.7 B. a1?0, ?0.7?q??0.6
C. a1?0, 0.7?q?0.8 D. a1?0, ?0.8?q??0.7 【答案】B
a1a1(1?qn)S?S?【解析】n, , ?1?q?1
1?q1?q2Sn?S，即a1(2qn?1)?0 1n若a1?0，则q?，不可能成立
21n若a1?0，则q?，B成立
2
18. 设f(x),g(x),h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题:①若f(x)?g(x)，f(x)?h(x)，
g(x)?h(x)均为增函数，则f(x),g(x),h(x)中至少有一个为增函数；②若f(x)?g(x)，f(x)?h(x)，g(x)?h(x)均是以T为周期的函数，则f(x),g(x),h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是( )
A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D
【解析】①不成立，可举反例
?2x?3,x?0?2x,x?1??x,x?0?f(x)??, g(x)???x?3,0?x?1, h(x)??
2x,x?0??x?3,x?1??2x,x?1?②f(x)?g(x)?f(x?T)?g(x?T)
f(x)?h(x)?f(x?T)?h(x?T) g(x)?h(x)?g(x?T)?h(x?T)
前两式作差，可得g(x)?h(x)?g(x?T)?h(x?T) 结合第三式，可得g(x)?g(x?T), h(x)?h(x?T) 也有f(x)?f(x?T) ∴②正确 故选D
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域
内写出必要的步骤． 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，
2?如图，?A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧 AC长为?，?33(1) 求三棱锥C?O1A1B1的体积
(2) 求异面直线B1C与AA1所成角的大小
?A1B1??AOB?【解析】(1) 连O1B1，则? 1113∴?O1A1B1为正三角形
∴S?O1A1B1?3 4- 4 -
13∴VC?O1A1B1?OO1?S?O1A1B1?
312(2) 设点B1在下底面圆周的射影为B，连BB1，则BB1∥AA1 ∴?BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角）
BB1?AA1?1 连BC,BO,OC
?2??AB??A1B1?, ?AC? 33??∴BC?3
∴?BOC? 3∴?BOC为正三角形 ∴BC?BO?1
BC?1 ∴tan?BB1C?BB1∴?BB1C?45?
∴直线B1C与AA1所成角大小为45?
20．（本题满分14分）
有一块正方形菜地EFGH, EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜
地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2
的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，
点F的坐标为(1,0)，如图
(1) 求菜地内的分界线C的方程
8(2) 菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为。
3设M是C上
纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并
判断哪一个更接近于S1面积的经验值
【解析】(1) 设分界线上任一点为(x,y)，依题意
?x?1?(x?1)2?y2 可得y?2x(0?x?1)
(2) 设M(x0,y0)，则y0?1
2y01? ∴x0?4415∴设所表述的矩形面积为S3，则S3?2?(?1)?
42设五边形EMOGH面积为S4，则S4?S3?S?OMP?S?MGQ?5111311???1???1? 22424485111811S1?S3???, S4?S1????
32643126∴五边形EOMGH的面积更接近S1的面积
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