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新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习

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分式方程的解法及应用（提高）

【学习目标】

1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】

【 分式方程的解法及应用 知识要点】 要点一、分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未

知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字

母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.

（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.

要点二、分式方程的解法

解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.

解分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；

（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；

（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因

方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.

产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.

要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原

理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.

（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方

程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.

要点四、分式方程的应用

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分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：

（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数；

（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；

（5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典型例题】

类型一、判别分式方程

1、（2016春?闵行区期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ） A．x?x?112???2 ?1 B．xx?12x?3C．

x2x?21x1?? D．2x?2? x?1x2x?12【答案】B．

【解析】解：A、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；

B、该方程属于无理方程，故本选项正确；

C、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误； D、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误； 故选B．

【总结升华】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．

类型二、解复杂分式方程的技巧

2、解方程：

131041． ???x?4x?3x?5x?1【答案与解析】

解：方程的左右两边分别通分，

得

3x?13x?1?，

(x?4)(x?3)(x?5)(x?1)3x?13x?1??0，

(x?4)(x?3)(x?5)(x?1)∴

∴ (3x?1)???11???0，

(x?4)(x?3)(x?5)(x?1)??11??0，

(x?4)(x?3)(x?5)(x?1)∴ 3x?1?0，或

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由3x?1?0，解得x??， 由

1311??0，解得x?7．

(x?4)(x?3)(x?5)(x?1)经检验：x??，x?7是原方程的根.

【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘(x?4)(x?3)(x?5)(x?1)，去分母后的整式方程的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分别通分的方法来解． 举一反三： 【变式】解方程【答案】 解：移项得

131111． ???x?4x?7x?5x?61111， ???x?4x?5x?6x?7(x?5)?(x?4)(x?7)?(x?6)?，

(x?4)(x?5)(x?6)(x?7)两边同时通分得

即

11?，

(x?4)(x?5)(x?6)(x?7)因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等． 所以(x?4)(x?5)?(x?6)(x?7)，

x2?9x?20?x2?13x?42， x2?9x?20?x2?13x?42?0，

?4x?22?0，

11∴ x??．

211检验：当x??时，(x?4)(x?5)(x?6)(x?7)?0．

211∴ x??是原方程的根．

2类型三、分式方程的增根

【 分式方程的解法及应用 例3】

3、（1）若分式方程（2）若分式方程

2mx3?2?有增根，求m值； x?2x?4x?2k?11k?5有增根x??1，求k的值． ??222x?1x?xx?x资料来源于网络 仅供免费交流使用