内容发布更新时间 : 2024/5/2 20:33:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

学习目标 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.

知识点一 二倍角公式的推导

思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？ 答案 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α ＝2sin αcos α；

cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α ＝cosα－sinα；

2tan α

tan 2α＝tan(α＋α)＝. 2

1－tanα

思考2 根据同角三角函数的基本关系式sinα＋cosα＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？ 答案 cos 2α＝cosα－sinα＝cosα－(1－cosα)＝2cosα－1； 或cos 2α＝cosα－sinα＝(1－sinα)－sinα＝1－2sinα. 知识点二 二倍角公式的变形 1.公式的逆用

1

2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，

22tan α22

cosα－sinα＝cos 2α，＝tan 2α. 21－tanα2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式 升幂公式

1＋cos 2α＝2cosα，1－cos 2α＝2sinα， 1＋cos α＝2cos降幂公式 cosα＝

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

α2α，1－cos α＝2sin . 22

1＋cos 2α1－cos 2α2

，sinα＝. 22

类型一 给角求值 例1 求下列各式的值：

122

(1)cos 72°cos 36°；(2)－cos15°；

33

1－tan75°13(3)；(4)－.

tan 75°sin 10°cos 10°解 (1)cos 36°cos 72°＝＝

2sin 36°cos 36°cos 72°

2sin 36°

2

2sin 72°cos 72°sin 144°1

＝＝.

4sin 36°4sin 36°4

1211322

(2)－cos15°＝－(2cos15°－1)＝－cos 30°＝－. 333361－tan75°1－tan75°1(3)＝2·＝2·＝－23.

tan 75°2tan 75°tan 150°(4)

13cos 10°－3sin 10°

－＝

sin 10°cos 10°sin 10°cos 10°

2

2

3?1?2?cos 10°－sin 10°?

2?2?

＝ sin 10°cos 10°＝＝

4?sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°?

2sin 10° cos 10°4sin 20°

＝4.

sin 20°

反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类：

(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.

(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 跟踪训练1 求下列各式的值： 2π4π6π

(1)cos cos cos ；

777(2)

13

＋.

sin 50°cos 50°

2π2π4π6π2sin cos cos cos

7777

解 (1)原式＝

2π2sin

7sin ＝

4π4π6π8π6π

cos cos sin cos 77777

＝ 2π2π2sin 4sin

77

sin ＝

ππ2π

cos sin 7771

＝＝. 2π2π84sin 8sin

77

13

2?cos 50°＋sin 50°?22cos 50°＋3sin 50°2sin 80°2sin 80°

(2)原式＝＝＝＝＝4.

sin 50°cos 50°111

×2sin 50°cos 50°sin 100°sin 80°222

类型二 给值求值

1

例2 (1)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝ .

3答案

8 9

2

2

2

解析 (sin α－cos α)＝sinα＋cosα－2sin αcos α

?1?2?1?28

＝1－sin 2α＝???sin 2α＝1－??＝.

?3??3?9

32

(2)若tan α＝，则cosα＋2sin 2α等于( )

4A.64 25

48B. 2516D. 25

C.1 答案 A

cosα＋4sin αcos α1＋4tan α

解析 cosα＋2sin 2α＝＝. 222

cosα＋sinα1＋tanα

2

2

3

把tan α＝代入，得

4

31＋4×

44642

cosα＋2sin 2α＝＝＝.

3?22525?1＋???4?16故选A. 引申探究

1

在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝，求sin 2α.

312

解 由题意，得(sin α＋cos α)＝，

91

∴1＋2sin αcos α＝，

91

即1＋sin 2α＝，

98

∴sin 2α＝－. 9

反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.

(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)＝1±sin 2θ. 跟踪训练2 已知tan α＝2. π??(1)求tan?α＋?的值； 4??

2